Valentino · 2022年03月25日
NO.PZ2015120604000064
问题如下：
According to the above table, what is the correlation of X and Y, given the joint probability table above?
选项：
A.
-0.98.
B.
0.16.
C.
0.98.
解释：
A is correct
Corr(X,Y)=\frac { Cov(X,Y) }{ { \sigma }_{ x }{ \sigma }_{ y } }
Corr(X,Y)=σx
σy
Cov(X,Y)
,
Cov(X,Y)=-4.8, standard deviations of X and Y are 1.90 and 2.58, as calculated before,
thus correlation of X and Y is -0.98
星星_品职助教 · 2022年03月25日
同学你好，
本题要求correlation，根据公式，Corr(X,Y)即ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/σxσy。所以需要知道①Cov(X,Y)；②σx；③σy
Cov(X,Y)=E[(（X-E(X）)（Y-E(Y)））]，所以问题先转化为求E(X)和E(Y)
根据表格，X一共有三个值。其中X=-2的概率就是当X=-2时的边际概率，0.2+0+0=0.2；同理，X=1的概率为0+0.6+0=0.6，X=4的概率为0+0+0.2=0.2.
求期望就是求（加权）平均的过程，所以E(X)=0.2×(-2)+0.6×1+0.2×4=1，
同理，E(Y)=0.2×5+0.6×2+0.2×(-3)=1.6.
所以Cov(X,Y)=0.2×（-2-1）×（5-1.6）+0.6×（1-1）×（2-1.6）+0.2×（4-1）×（-3-1.6）=-4.8 ①
--------
通过方差的公式得到Var(X)=E[（X-E(X）)^2]=0.2×（-2-1）^2+0.6×（1-1）^2+0.2×（4-1）^2=3.6，即σx=1.8974 ②
Var(Y)=0.2×（5-1.6）^2+0.6×（2-1.6）^2+0.2×（-3-1.6）^2=6.64，即σY=2.5768 ③
结合①，②，③，可得ρ(X,Y)=-4.8/（1.8974×2.5768）=-0.9818
