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yunli · 2021年12月26日

老师请问现在在weight是random variable的时候，还怎么对方差进行加权平均

  1. FRM I
  2. Quantitative

NO.PZ2020010303000008

问题如下：

How are the mean and variance of a mixture of normal random variables related to the mean and variance of the components of the mixture?

解释：

The mean is the weighted average of the means of the components. The variance is more complicated. The second non-central moment, E[X2]E[X^2] of the mixture is the weighted average of the second non-central moments of the components. The variance is then E[X2]−E[X]2E[X^2] - E[X]^2, which depends the first and second moments of the mixture.

老师 我先想确认一下mixture distribution的定义里是不是有要求weight必须是random variable而非常数？如果是的话，那题干中mixture of normal distribution和linear combination of normal distribution不是就不一样了吗，这个时候expectation还能直接根据weight这个random variable的每种取值对应的概率直接加权平均吗，weight已经不是常数了，那答案中说的期望是加权平均具体是怎么算的呢。或者说老师能否举一个有3个component distribution的 mixture的例子呢，这个时候W就不能是Bernoulli而是其他分布了，那求期望的时候不是要按定义计算，一定能够推导到加权平均的形式吗？我不要太理解为什么答案中关于期望和方差的部分是成立的，感觉题干问得是一种比较general的情况。谢谢老师！
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1 个答案

DD仔_品职助教 · 2021年12月26日

嗨，从没放弃的小努力你好：


同学你好，你把这个题读复杂了，这个只是在考概念。

题目问的是混合正态分布的均值和方差咋算，混合正太分布其实就是个组合，这个组合里有俩正态分布的变量。对于正态分布的变量，都是有各自的均值和方差的，组合的均值就等于各自的均值*权重，这里的权重当然不是一个固定的数字，不是一直不变的，权重可以根据具体的分配情况发生变化，只要相加=1即可，考试让你计算均值的话肯定会给一定的条件来计算权重，每个资产金额是多少，除总的数额就是各自的权重了。

三个分布的混合情况不会考，比较麻烦，只需要了解两个分布的即可。

同学不用纠结题目的问法精不精确，这里的关键不是具体分布，而是均值和方差的计算，像这种理论的题，不必深究，数量这部分主要考计算。

这题完全考的就是section2最后一个视频的内容（如下图），建议同学再听一下视频，多关注计算题型~


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努力的时光都是限量版，加油！

yunli · 2021年12月27日

好的谢谢

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NO.PZ2020010303000008 问题如下 How are the meanvarianof a mixture of normranm variables relateto the meanvarianof the components of the mixture? The meis the weighteaverage of the means of the components. The varianis more complicate The seconnon-centrmoment, E[X2]E[X^2]E[X2] of the mixture is the weighteaverage of the seconnon-centrmoments of the components. The varianis then E[X2]−E[X]2E[X^2] - E[X]^2E[X2]−E[X]2, whipen the first anseconmoments of the mixture. How are the meanvarianof a mixture of normranm variables relateto the meanvarianof the components of the mixture?1.请问这道题是这样理解吗混合正态分布的均值、方差与混合正态分布各组成部分分布的均值、方差的联系如何?2.课上有一点提到，即使混合分布的各组成分布无偏差、峰度为0，混合分布也可能有偏差、有峰度。也就是说各组成分布为正态分布，但混合分布不一定为正态分布。这样理解对吗？3.这里由各组成分布的均值、方差，推出混合分布的均值、方差为考点吗？需要记住什么公式和概念呢？

2024-01-19 22:20 1 · 回答

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2022-06-30 22:07 1 · 回答

答案没有看懂，老师可以讲一下吗谢谢

2020-05-10 21:41 1 · 回答

老师，该题求Variance的没看懂能再说仔细点么？

2020-01-21 14:42 2 · 回答