为什么不是modified duration呢

嗨，从没放弃的小努力你好：

老师好，mac·d=inverstment horzion时，可以hedge price risk and investment risk，这个结论是从定性的角度去理解，但是从定量的公式是怎么推导出来的呢？我在其他的回答里面是看到举了一个具体的例子，但是感觉不是很严谨。谢谢。

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这是一级的知识点，一级通过一个实例计算证明的。证明的过程是大概这样，让债券的投资期等于其Macaulay duration。

假设期初买入时ytm=10.40%，

第一行是卖出时收益率曲线下降到9.4%，此时的P₁=96.481299,coupon(包含再投资收益）=74.512177，total return是170.993476。

第二行是卖出时收益率曲线不变，仍维持10.40%，此时P₁=94.073336，coupon(包含再投资收益）=76.835787，total return是170.993476。

第三行是卖出时收益率曲线上升到11.40%，此时P₁=91.748833，coupon(包含再投资收益）=79.235183，total return是170.993476。

由于期初买入价格P₀不变，total return又一样，所以无论收益率曲线如何变化，持有期收益率r是确定不变的。

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加油吧，让我们一起遇见更好的自己！

嗨，努力学习的PZer你好：

同学你好

关于用什么duration match这里，结论是single liability用mac duration match，multiple liability用modified duration match。原理如下：

Single liability免疫：

负债端只有一笔现金流，不受收益率曲线变化的影响。那么我们构建的Portfolio也要尽量不受收益率曲线变化的影响，这是基本原则。

首先，回顾一下，持有一只债券的收益率是如何计算。

根据P₀(1+r)=P₁+coupon①这个公式，P₀是期初买入债券的价格，P₁是现在债券市场价格或者未来可以卖出的价格，r就是持有债券一段时间的投资收益率。如果投资期是一期，没有coupon再投资问题；如果投资期是多期，要考虑coupon的reinvestment问题，比如，投资3期，每期coupon为3，假定期间现金流以ytm再投资，那么根据PV=0，PMT=3，N=3，I/Y=ytm，求解出FV就是上面公式的coupon了，它包含的是coupon和coupon的在投资收益。（这是一级固收的知识点）。

其次，我们分析一下公式①，影响债券投资收益r的因素有两方面：

一是P₁，它是债券的卖出价格，收益率曲线一旦变化，债券卖出价格不再确定，这是price risk，用duration衡量，duration越大，price risk越大；

二是coupon，它是持有债券期间的coupon以及coupon再投资收益，一旦收益率曲线变化，coupon确定，但coupon的再投资收益就不确定了（也就是不能假设以ytm再投资了），这是reinvestment risk，用investment horizon衡量，投资期越长，reinvestment risk越大。

收益率发生变动，price risk和reinvestment risk对投资者的影响是相反的，比如考虑收益率曲线上升的情形：

若投资期长，price risk对投资者不利，但reinvestment risk对投资者有利；若投资期短，price risk对投资者有利，但reinvestment risk对投资者不利。

所以，我们要找到一个期限，使得price risk与reinvestment risk相互抵消，收益率曲线变动对portfolio value的影响就被控制了，portfolio可以获得确定的return，这样就实现了免疫的初衷。

由于这里是要把duration与投资期相比，所以要用duration最本源的含义，mac D。

有下面结论：

Mac D＞investment horizon，则price risk＞reinvestment risk

Mac D=investment horizon，则price risk=reinvestment risk

Mac D＜investment horizon，则price risk＜reinvestment risk

所以，单笔现金流负债免疫，我们要让mac D=investment horizon。

Multiple liability 免疫：

与单笔现金流负债不受收益率曲线变动影响不同，多笔现金流负债受收益率曲线变动影响，所以，我们构建portfolio的目的也不是获得确定收益了，而是要让收益率曲线变动时，资产与负债的价格变动尽量相等，也就是BPV_A=BPV_L。BPV=-MD*1bp*P，所以用到的是modified duration，而不再是mac duration了。

总之，虽然single liability与multiple liabiliies都叫免疫，但两类免疫的目标是不一样的，前者的目标是追求realized return，后者的目标是追求资产与负债的value变化相同，因此，前者要用mac duration，后者要用modified duration。

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