theta在ATM时最大

嗨，从没放弃的小努力你好：

同学你好~

1.     先解释一下为什么时间价值在ATM的时候最大

时间价值是期权价格和内在价值（intrinsic value）之间的差值。即TV=C(St) - IV(St)。关于时间价值在ATM的时候最大，涉及一个很复杂的推倒，以call option为例。我们先假设期权的收益（payoff）是一个关于股票价格的连续函数，假设利率，波动率，到期时间以及行权价格是常数，然后做下面的推倒：

（1）当St

（等式右边是期权的delta，看涨期权的delta是非负的，因此得到了这个取值范围）

（2）当St>K时，call option处于ITM状态,此时IV=St-K

可以看到时间价值在OTM的时候是随着股价上升而增加的；而在ITM的时候，期权的时间价值是随股价上升而减小的，所以倒挤出在ATM的时候最大。

同学只需要掌握结论即可，即ATM的时候期权的时间价值最大，最简单的是根据图形来记忆，在ATM的时候曲线和折线的差值最大，即时间价值最大。

1.     为什么theta在ATM时最大？

（1）这一点可以从theta的公式来理解，theta=期权价格的变化/时间的变化。当期权价格变化大最大的时候，theta就大。而在ATM的时候，期权价格是变化最大的，因为当标的价格变化一点的时候，期权可能是OTM也可能是ITM的，可谓一念天堂一念地狱，所以期权价格变化最大，对应theta最大。

（2）另外可以参考John Hull期权期货和衍生品这本书上的一个图来看：（注意该图的横坐标是举例到期日的时间，因此最左边的0时刻表示到期日）此功能这个图也可以看到ATM的期权其theta是最大的。

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