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nanaluo · 2021年09月23日

请问公式转化

  1. FRM I
  2. Quantitative

NO.PZ2020011101000019

问题如下：

When modeling lnYtln Y_t using a time trend model, what is the relationship between expET[lnYT+h]exp E_T[ln Y_{T+ h}] and ET[YT+h]E_T[Y_{T+ h}] for any forecasting period h? Are these ever the same? Assume the error terms is normally distributed around a mean of zero.

选项：

解释：

A time trend model for lnYtln Y_t can be stated as:

lnYt=g(t)+ϵt,ϵ∼N(0,σ2)ln Y_t = g(t) + \epsilon_t, \epsilon ∼ N(0, \sigma^2),

where g(t) is a function of t.

So,

ET[lnYT+h]=g(T+h)E_T[ln Y_{T+ h}] = g(T + h),

which gives

expET[lnYT+h]=exp[g(T+h)]exp E_T[ln Y_{T+ h}] = exp [g(T + h)],

On the other hand:

ET[YT+h]=ET[exp(g(T+h)+ϵT+h)]=exp(g(T+h)+ET[exp epsilonT+h)]E_T[Y_{T+ h}] = E_T[exp(g(T + h) + \epsilon_{T+ h})] = exp(g(T + h) + E_T[exp \ epsilon_{T+ h})],

which equals

ET[YT+h]=exp[g(T+h)]+σ2/2E_T[Y_{T+ h}] = exp[g(T + h)] +\sigma^2/2

And so:

ET[YT+h]=expET[lnYT+h]+σ2/2E_T [Y_{T+ h}] = exp E_T[ln Y_{T+ h}] +\sigma^2/2

These will be equal if the variance is zero (in other words, if the process is completely deterministic.

请问这步是怎么得到的？ET​[exp(g(T+h)+ϵT+h​)]=exp(g(T+h)+ET​[exp epsilonT+h​)]

以及后一项如何转化为下一步的sigma^2/2？

谢谢！

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2 个答案

品职答疑小助手雍 · 2021年09月25日

是这个

品职答疑小助手雍 · 2021年09月24日

同学你好，最后一步是直接根据对数正态分布期望的公式（下图中间位置）得到，不过结果和解析里其实不一样，解析这个应该是错的，我去反馈一下。

最后得到的应该是exp[(g(T+h)+σ^2/2)]

不过结论一样，当方差为零时两者相等。

nanaluo · 2021年09月24日

ET[YT+h]=ET[exp(g(T+h)+ϵ T+h)]=exp(g(T+h)+ET[exp epsilon T+h )]中的epsilon是什么呢？

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NO.PZ2020011101000019问题如下When moling lnYtln Y_tlnYt​ using a time trenmol, whis the relationship between expET[lnYT+h]exp E_T[ln Y_{T+ h}]expET​[lnYT+h​] anET[YT+h]E_T[Y_{T+ h}]ET​[YT+h​] for any forecasting perioh? Are these ever the same? Assume the error terms is normally stributearouna meof zero. A time trenmol for lnYtln Y_tlnYt​ cstateas: lnYt=g(t)+ϵt,ϵ∼N(0,σ2)ln Y_t = g(t) + \epsilon_t, \epsilon ∼ N(0, \sigma^2)lnYt​=g(t)+ϵt​,ϵ∼N(0,σ2),where g(t) is a function of t. So,ET[lnYT+h]=g(T+h)E_T[ln Y_{T+ h}] = g(T + h)ET​[lnYT+h​]=g(T+h), whigivesexpET[lnYT+h]=exp[g(T+h)]exp E_T[ln Y_{T+ h}] = exp [g(T + h)]expET​[lnYT+h​]=exp[g(T+h)],On the other hanET[YT+h]=ET[exp(g(T+h)+ϵT+h)]=exp(g(T+h)+ET[exp epsilonT+h)]E_T[Y_{T+ h}] = E_T[exp(g(T + h) + \epsilon_{T+ h})] = exp(g(T + h) + E_T[exp \ epsilon_{T+ h})]ET​[YT+h​]=ET​[exp(g(T+h)+ϵT+h​)]=exp(g(T+h)+ET​[exp epsilonT+h​)],whiequals ET[YT+h]=exp[[g(T+h)+σ2/2]E_T\lbraY_{T+h}\rbrack=exp\left[\lbrag(T+h)+\sigma^2/2\right]ET​[YT+h​]=exp[[g(T+h)+σ2/2]Anso: ET[YT+h]=expET[[lnYT+h+σ2/2]E_T\lbraY_{T+h}\rbrack=expE_T\left[\lbralnY_{T+h}+\sigma^2/2\right]ET​[YT+h​]=expET​[[lnYT+h​+σ2/2]These will equif the varianis zero (in other wor, if the process is completely terministi老师好，1、红线等式看不明白，是怎么等价过来的呢？2、蓝色线是为什么相等呢？能给个推导过程吗？

2024-08-13 16:28 7 · 回答

NO.PZ2020011101000019 老师，这道题的考点是啥？需要掌握哪个知识点呢？

2022-02-08 00:01 1 · 回答

NO.PZ2020011101000019 E(exp(εt+h)))为什么不等于1而是σ^2呀？E（εt+h)不是等于0吗？谢谢！

2022-01-06 16:53 1 · 回答

误差服从i，那误差的指数怎么求方差啊？能否讲一下sigma平方/2怎么来的呀？

2020-09-25 22:57 1 · 回答