magickame · 2021年07月07日

最好能把全过程算一下而不是简单列公式

NO.PZ2020010304000014

问题如下：

Suppose that the annual profit of two firms, one an incumbent (Big Firm, X1) and the other a startup (Small Firm, X2), can be described with the following probability matrix:

what are the covariance and correlations between the profits of these two firms?

选项：

解释：

First, the two means and variances can be computed from the marginal distributions.

Then the covariance can be computed using the alternative form, which is $E[X_1X_2] - E[X_1]E[X_2]$ .

The means can be computed using $E[X_j] = Σx_j Pr(X_j = x_j)$ for j = 1,2.

The variance can be computed using $E[X_j^2]-(E[X_j])^2$ , which requires computing $E[X_j^2]$ using $Σx_j^2]Pr(X_j = x_j)$ .

For Big Firm, these values are $E[X_1] = USD 15.88M$ , $E[X_1^2] = 1786.63$ and $V[X_1] = 1534.36$ .

For Small Firm, these values are $E[X_2] = USD 1.25M$ , $E[X_2^2] = 3.98$ and $V[X_2] = 2.41$ .

The expected value of the cross product is $E[X_1X_2] = ΣΣx_1x_2Pr(X_1 =x_1, X_2 = x_2) = 43.22$ . The covariance is then 43.22 - 1.25 * 15.88 = 23.37 and the correlation is $23.37/(\sqrt{22.41 * 1534.36}) = 0.384$

公式太复杂，全步骤计算详解出来理解更方便

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2 个答案

品职答疑小助手雍 · 2022年01月17日

同学你好，题目让求的是cov和ρ，所以都要算。

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品职答疑小助手雍 · 2021年07月07日

嗨，爱思考的PZer你好：

这道题看起来写了这么长正是因为解析写的很详尽，其实总共就用了三个基础公式：

一个是求期望的公式，另一个是协方差的公式cov=E[X1*X2] - E[X1]E[X2]，方差的公式可以套用协方差的公式，X1的方差就是把cov公式里的X2都换成X1就行了。还有一个是通过协方差求correlation的公式。

计算过程答案里都写了，我再翻译一遍：

首先求两个数据单独的期望和方差：E(X1)=15.88M, E(X1的平方)=1786.63，X1的方差就是1786.63-15.88*15.88=1534.36

E(X2)=1.25M, E(X2的平方)=3.98，X2的方差就是3.98-1.25*1.25=2.41

E(X1*X2)=每个格子里的概率*X1*X2，再把所有格子的结果加起来，等于43.22。

所以cov=43.22-1.25*15.88=23.37。

correlation=cov/（X1的标准差*X2的标准差）也就是解析的最后一步，等于0.384。

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就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！

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Clare · 2022年01月17日

已经有cov了还需要算ρ吗

最好能把全过程算一下而不是简单列公式

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