- 能否用数学方式证明一下Mac.Duration=Investment Horizon时，Price risk与RI risk的效果是正好抵消的
SherryChenYX · 2021年06月07日
发亮_品职助教 · 2021年06月09日
嗨，从没放弃的小努力你好：
3.关于Risk in Liab-driven基础讲义P138例题中使用衍生品来matching，当市场利率下降时，liab一方是callable bond，行权，所以第3年有个coupon+principal支出，后面的CF out不存在，而asset一方是non-call bond+short receiver swaption，被行权，从第4年起进入付fixed swap可以同non-call bond的CF in抵消，我的问题是第三年liab一方是coupon+Principal支出，而asset一方合成以后是non-call bond的coupon收入，第3年的两侧好像无法匹配，请解释。
对，第3年年末资产、负债的现金流基本不太可能完全相等。
可能会存在误差，至于误差的大小，就需要看期末市场上利率的具体情况了。因为第3年年末的市场利率状况会影响到Swaption的盈亏具体数额，进而会影响到资产端的具体现金流金额。所以等于说在第3年年末资产端的现金流还是一个变量、是一个利率的函数（未知数），需要看具体利率等于多少。于是，在第3年年末，资产的现金流可能不会完全等于负债的现金流。
另外需注意，在匹配的时候，需要时刻盯住Liability看。在第3年年末，当市场利率下降时，负债端发行的Callable bond会被提前赎回，那这样的话，负债就不存在了。于是，资产端也就没有继续存在的必要了，因为该笔资产就是用来Match liability的，Liability需要提前赎回，资产端就需要提前卖出变现。
此时，利率下降时，需要提前卖出资产端的Non-callable bond，提前变现。由于利率下降，这个债券的价格上升，且价格上升幅度一定大于负债端的Callable bond价格上升幅度，因此卖出资产端的Option-free bond的现金流是一定够提前赎回Callable bond的。卖出资产端的债券偿还完负债之后，还会有盈余。
同时，资产端的Swaption也会被行权，此时，我们可以不用进入这个Swap，直接反向操作平掉即可。这会给我们带来亏损，具体亏损是多少就要看市场上的利率是多少了。
前面卖出普通债券的盈亏可以Cover一部分这里的亏损、同时前面Short swaption赚取的期权费也可以Cover这部分亏损。最终整个策略的净收益、净损失是多少，其实要视市场利率而定，是不确定的。
不过有一点是确定的，我们用资产顺利地偿还掉了负债。
----------------------------------------------努力的时光都是限量版，加油！
发亮_品职助教 · 2021年06月09日
嗨，从没放弃的小努力你好：
能否用数学方式证明一下Mac.Duration=Investment Horizon时，Price risk与RI risk的效果是正好抵消的
这个数学是可以证明的，不过比较难，超过我们考试要求很多了。也超过了我能在有问必答里再解释给大家的能力了，所以很抱歉无法用一个严谨的数学证明展示给大家。
之前有在外网搜到过论文证明，大概看了下，纯数学证明比较难，感觉很难先看论文再复述给大家了。Immunization在实务中已经是很成熟的技术了，可以当结论来用。
另外我们1级固收里面，用一个非常巧妙的办法证明，就是用了债券实际的投资收益率来证明，证明了当Macaulay duration = investment horizon时，Price risk与RI Risk可以相互抵消。
大概的逻辑这样：
债券资产的Macaulay duration = 7，然后让投资期也等于7。
情景1：假设利率没变，债券的Yield没变，我们算出来了债券的投资期收益率等于10%。
情景2：让利率曲线发生平行上移，债券的Yield上移1%，然后用新的Yield计算了新的Coupon reinvestment return与债券的卖出价格，计算出来了债券的投资期收益率，发现也等于10%。
情景3：让利率曲线发生平行下移，债券的Yield下降1%，然后按新的Yield计算债券的Coupon reinvestment return与债券的卖出价格，重新计算债券的投资期收益率，发现也等于10%。
那这样的话，当Macaulay duration = investment horizon时，无论利率涨跌，债券的收益率都是稳定的，那可以推断，一定是影响债券的两个Risk相互抵消了，因为只有Price risk与Coupon reinvestment risk相互抵消，才会使得债券的投资收益率不受利率变动的影响。
之前回复过一个更加详细的有问必答，可以参考，有问题再追问，我们再讨论~~
https://class.pzacademy.com/qa/73901
2.关于Multiple-liab中Duration matching的第3个条件需要asset convexity大于liab convexity，因此asset dispersion大于liab dispersion，如果asset CF 第一笔CF提前流入且为了保证asset BPV=liab BPV，那么liab 最后一笔CF怎么用asset最后一笔CF来cover，因为Asset 最后一笔CF in肯定晚于liab最后一笔CF out？(见图)
对，债券的最后一笔现金流一定晚于负债的最后一笔现金流。这是Immunization的机制所要求的。
也就是说，为了实现duration-matching（Immunization），资产的第一步现金流一定比负债的现金流早，同时最后一笔现金流一定要比负债的最后一笔现金流晚。即，资产的现金流比负债的现金流更加分散。
那资产的现金流晚于负债的最后一笔现金流时，为了偿还负债，Duration-matching里面是需要提前卖出债券的。
因为资产的期限大于负债的期限。资产最后一笔现金流晚于负债的最后一笔现金流，这种情况下，我们需要提前变现资产来偿还负债。
回想一下，Immunization的底层机制：Price risk与Coupon reinvestment risk可以相互抵消。
我们把负债最后一笔Liability的到期日设定为资产的投资期，因为资产就是为了偿还负债的，最后一笔负债都到期了，那资产也就没有存在的意义了。
于是，资产的投资期等于负债的到期日。
这样的话，在负债到期之前，已经收到的资产现金流就需要进行再投资，直至负债到期，于是，资产会存在Coupon reinvestment risk。
同时，在负债到期日之后，还未收到的资产现金流，就需要提前变现、提前卖出债券资产变现，这样的话，资产会存在Price risk。
于是，我们发现，在负债到期日之前发生的所有现金流有Coupon reinvestment risk，在负债到期日之后发生的所有现金流有Price risk，于是，才有可能让Price risk与Coupon reinvestment risk相互抵消，才有可能实现Immunization里风险相互抵消的底层机制。
假设，债券资产的所有现金流都发生在负债到期日之前，那这样的话，债券资产就只有Coupon reinvestmen risk，由于不存在提前卖出债券变现，于是没有Price risk，在这种情况下，就根本无法实现Price risk与Coupon reinvestment risk相互抵消的机制，所以就根本无法实现Immunization。
于是，在免疫时，必须要让资产的现金流比负债的现金流更加分散，只有这样，债券投资才同时存在Price risk与Coupon reinvestment risk。
这样做的本质原因是让资产投资存在Price risk与Coupon reinvestment risk相互抵消的可能，进而实现免疫。
----------------------------------------------就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！