Intra-market carry trades just break even if both yield curves

嗨，爱思考的PZer你好：

C选项看不懂答案的解释，求解释如何理解？谢谢

先解释答案里的这句话，这句话是正确的：

Intra-market trades will break even if the curve goes to the forward rates because, by construction of the forward rates, all points on the curve will earn the "first-period" rate (that is, the rate for the holding period being considered). 

他是说，在一国内部，如果未来的收益率曲线实现了期初Forward rate预测的利率，那么无论是多长期限的债券，只要投资期一致，那么他们实现的收益率相等。

那这样的话， Intra-market carry trade，借短期、投长期，借款实际利率和投资实际收益是相等的，那么这个策略实现盈亏平衡。因为借短期和投长期，他们的投资期一致，实现的收益率相等，所以投资的收益与借款的利率一致，实现盈亏平衡。

这也就是为什么，在做carry trade时，我们要求收益率曲线是Stable，因为Stable代表着收益率曲线今天长啥样，明天还长这样。

明天的收益率曲线和今天的收益率曲线一样，那说明，明天的收益率曲线一定没有实现期初Implied Forward rate的预期。

因为如果收益率曲线向上倾斜，在期初，Implied Forward rate曲线一定比Spot rate曲线更高，如果明天实现了期初的Forward rate，那么明天的Spot rate一定比今天的Spot rate更高，这就不是Stable表述的意思了。

所以Carry trade要盈利，就代表预期未来的收益率曲线一定不会实现期初Forward rate的预期。如果未来的收益率曲线实现了期初Forward rate的预期，那么Carry trade恰好盈亏平衡。

Intra-market carry trades just break even if yield curve moves to forward rates

关于这个结论，其实是来自2级的一个结论：

If forward rates are realized, then all bonds, regardless of maturity, will have the same one-period realized return, which is the first-period spot rate.

也就是说，如果未来的收益率曲线实现了期初的implied forward rates，那所有的债券投资，无论是什么期限的债券，只要他们的投资期一致，那这个投资期实现的收益率就是这段时间的Spot rate（first-period spot rate）。

下面做一个简单的证明，假设：

1-year spot rate = 2%

2-year spot rate = 3%

3-year spot rate = 4%

这个Spot rate隐含的forward rate为：

f(1,1) = 4.01%

f(1,2) = 5.015%

假设一年过去了，利率实现了期初Spot rate隐含的Forward rate，即站在1年后的时间点看，one-year spot rate = 4.01%；2-year spot rate = 5.015%；

我们投资一个1-year zero-coupon bond，那实现的收益就是1-year spot rate = 2%，因为到期100，期初定价是2%定的，所以实现2%的收益率。

假设我们投资的是一个2-year zero-coupon bond，投资这一年实现的收益率计算为：

期初买债券的价格：100/(1+3%)^2=94.26

1年过去后，这支2年期债券变成了1年期债券，如果利率实现了期初的Implied forward rate，那未来1年期利率为：4.01%；按照新的Spot rate定价卖出债券的价格为：

100/(1+4.01%)=96.145

所以投资一年的收益率为：（96.145-94.26）/(94.26)=1.9998%，考虑计算的时候是近似的，所以理论值应该是2%

这样发现，如果收益率曲线实现了期初Spot rate隐含的Implied forward rate，投资1年期债券的收益是2%，投资2年的期债券的收益也是2%。这一年实现的投资收益率一样，都是第一期的Spot rate 2%。

同理，如果我们投资的是3年期的债券，期初价格为：100/(1+4%)^3=88.90

1年的投资期，1年后这支债券变成了2年期ZCB，如果利率实现了期初的Implied forward rate，那新的两年期利率是5.015%，那期末债券的卖出价格为：

100/(1+5.015%)^2=90.68

所以这一年的投资收益为：（90.68 - 88.90）/88.90 = 2%

发现投资3年期债券1年，实现的收益率也是2%。

这就说明，只要未来的利率曲线实现了期初预测的Forward rate，那么无论债券自身的Maturity是多少，只要投资期相等，他们实现的收益率就相等、且实现的收益率就是对应期限的Spot rate。

因为Carry trade是借短期利率、投长期利率，在这个期间内实现利差。

而如果利率实现了期初Spot rate隐含的Implied forward rate，那么无论是何种期限的债券，期间实现的投资收益率都一样，都是对应期限的Spot rate，那这样的话，在这个投资期内，Carry trade即便是借短期、投长期，借钱的实际利率和投资实现的收益，都是对应期限的Spot rate，那就刚好盈亏平衡。

比如，我们借1年期、投资3年期，从上面的计算可以看到，未来的利率如果实现了期初Implied forward rates，那借钱（1年期）的成本是2%，投资3年期债券1年实现的收益也是2%。这样，借钱的成本等于投资的收益，一国内部的Carry trade实现盈亏平衡。

所以做Intra-market Carry trade的投资者都是认为将来实现的利率不等于期初Spot rate隐含的Implied forward rate。

回忆Carry trade的收益率预测是Stable，收益率曲线今天长啥样明天还是啥样，所以按Stable的要求，明年的1-year spot rate应该还是2%，2-year还是3%，显然没有实现期初预测的4.01%与5.015%，这样其实Stable也是说利率没有实现期初的Implied forward rate。

选项C是想把上面Intra-market的那个结论引申到Inter-market carry trade。在Inter-market carry trade里，这个结论不成立。C选项说的不成立：

Inter-market carry trades just break even if both yield curves move to the forward rates.

也就是对于跨国的Carry trade，即便Yield curve实现了期初Forward rates的预测，这种Carry trade也不一定会Break even。

首先对于Inter-market carry trade，即便两国的利率曲线都实现了期初预测的Implied forward rate也无所谓。

因为是两个市场，大家的收益率曲线不一样，都有各自市场内部的First-period spot rate，first-period rate也不一样相等。

比如，A国的1年期利率是2%，B国1年期利率是5%，即便两国的利率曲线都实现了期初的Implied forward rate，那借A国1年期实际的借款利率是1年期的Spot rate 2%，投资B国实际实现的投资收益是1年期的Spot rate 5%，所以即便两国都实现了期初的Implied forward rate也无所谓，2%与5%的借贷息差依然存在。

这点和Intra-market carry trade不同，因为Intra-market carry trade，一旦未来的利率实现了期初的Implied forward rate，借钱、投资的实际利率都是对应期限的Spot rate，因为是一国内部，Spot rate相等，所以盈亏平衡。而两个市场上First-period spot rate不一定相等，所以借钱利率和投资收益不一定相等。所以Carry trade不一定会Breakeven。

第二点就是即便两国的First-period rate相等，也就是两国对应的Spot rate都假设是2%，但是因为两国之间的Carry trade还涉及汇率的变动，所以Carry trade也不一定Breakeven。

所以C选项是把Intra-market成立的结论想推广到Inter-market carry trade。这个推广一定不成立。所以C选项错误。

但是C选项这句话改成一国内部是正确：

"Intra-market carry trades just break even if both yield curves move to the forward rates"

以上是分析过程，考试的话记住这句话的结论即可。

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