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antata9089 · 2020年08月14日

Convertible bond arbitrage

老师你好,我有两个问题,第一个问题:为什么gamma接近到期的时候,to-do最大,所以导致gamma最大?所以我们要sell more stock at higher level? 第二个问题:为什么股票与债券要同涨同跌?
1 个答案
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星星_品职助教 · 2020年08月18日

同学你好,

1. 首先是为什么gamma接近到期的时候,凸度最大,所以导致gamma最大?

这个从option value的图像可以看出,随着到期日的临近,option value中的time value是逐渐消失的,所以option value的那条曲线会逐渐趋向于45°角的那条折线,也就是越来越弯,对应的斜率(delta)变化就越来越大。而gamma就是衡量斜率变化的,所以随着到期日临近,gamma是越来越大的。

但要注意,这个并不是“sell more stock at higher level”的理由。随着到期日临近gamma增加是二级衍生知识点,不会再在三级另类里考察了。


2. “sell more stock at higher level”在这里的意思是“当“股价”越来越高的时候,需要卖空更多的股票”。这个因为由于gamma的存在,delta是变化的。具体而言,是当股价上升时,delta越往右越大(越趋近于1),股价下降时,越往左越小(越趋近于0)。由于delta在变化,所以原有的delta-neutral策略就达不到hedge的目的了。

通过delta-hedge的公式可以更清晰的看到这个过程:

需要short的股票数量:Ns=Nc×△C/△S,其实也就是Ns=Nc×delta,当股价处于高位时,随着股价进一步上升,delta 逐渐变大,而Nc不变,所以这个时候需要short的股票数量Ns是上升的,也就是“sell more stock at higher level”

反之同理,当股价很低时,随着股价进一步下降,delta是下降的,所以这个时候需要short的股票数量是减少的,但是这个时候我们不用short less stock来表示,而是用通过直接去买一部分股票这种方式来降低short的股票的数量(买股票回来把之前short的股票还上,这样short的头寸就降低了),所以是buy  more stock at lower levels


3. 股票和债券的关系可以理解为可转债是bond+ call on stock这种形式。所以股价上升的时候,call on stock也上升,这个时候可转债的价格也随之上升了。也就是同涨同跌。

但在convertible bond这种策略里,由于为了达到delta neutral,构建方式是long convertible bond + short stock,所以当股价和convertible bond价格同时上涨时,由于我们是short stock,就会导致convertible bond赚钱,而short stock头寸亏钱的结果。但由于convertible bond有涨多跌少的性质,债券这部分涨的比股票下跌的多,所以策略是盈利的

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