比如世界 · 2020年04月08日

问一道题：NO.PZ2020010801000025

问题如下：

A model was estimated using daily data from the S&P 500 from 1977 until 2017 which included five day-of-the-week dummies (n = 10,087). The $R^2$ from this regression was 0.000599. Is there evidence that the mean varies with the day of the week?

选项：

解释：

The model estimated is

$Y_i = \beta_1D_1 + \beta_2D_2 + \beta_3D_3 + \beta_4D_4 + \beta_5D_5 + \epsilon_i$ ,

where Di is a dummy that takes the value 1 if the index of the weekday is i (e.g., Monday = 1, Tuesday = 2, c). The restriction is that

$H_0:\beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5$

so there this is no day-of-the-week effect. This model can be equivalently written as

$Y_i = \mu + \delta_2D_2 + \delta_3D_3 + \delta_4D_4 + \delta_5D_5 + \epsilon_i$ ,

therefore, here the null is

$H_0:\delta_2 = \delta_3 = \delta_4 = \delta_5$ .

In the two models, $\mu = \beta_1$ , and $\mu + \delta_i = \beta_i$ . The second form of the model is a more standard null for an F-stat.

The F-stat of the regression is

$\frac{(R^2-0)/4}{(1-R^2)/(n-5)}=\frac{0.000599/4}{(1-0.000599)/(10087-5)}=1.51$

The distribution is an $F_{4,10082}$ and the critical value using a 5% size is 2.37. The test statistic is less than the critical value, therefore, the null that all effects are 0 is not rejected.

1、这道题题目的意思不是很懂；2、答案解析里面为什么又要先构造5个var 然后再用dummy变成四个？

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2 个答案

袁园_品职助教 · 2022年01月04日

嗨，努力学习的PZer你好：

这五个自变量的模型不是错误的，但是不符合F检验的标准形式，所以我们用4个哑变量进行转换的。

题目中说的检验方程一开始是这种：

但是我们在F检验中使用的标准形式应该是有截距项的式子。所以在这里我们对哑变量进行变形（变形后这两个方程的R2是一样的，因为方程的整体解释力度是不变的）。第二步我们做F检验就可以用第二个方程式来做了。这里就可以用F统计量的公式来计算了。

2.u=β1，是五个自变量方程和四个自变量方程之间的对比。四个自变量的截距项u就是等于五个自变量模型中D1=1的时候的β1。

3.另外，补充一个点：伍德里奇的《计量经济学导论》中提到了“虚拟变量陷阱”，称在包含截距项时，两个特征要引入1个虚拟变量，如果引入2个（就是k-1个哑变量），就是完全多重共线。但在不包含截距项时，引入两个虚拟变量（像我们题目这种的5个特征都引入了虚拟变量）则不会存在虚拟变量陷阱。所以我们这道题最初建的模型不是错误的。

4.这道题那个5个变量时个迷惑选项，很多同学，直接就会把K=5带进去，但是这个模型本身就不符合标准的F检验的模型，所以要做一个变换。这个变换又结合了哑变量的性质，所以这道题比较难（直接可以说都超纲了），难在我们要识别出k=4。但是也不用特别纠结，考试中这个难度的题目很少的，大部分都是常规的题目。

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！

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袁园_品职助教 · 2020年04月09日

同学你好！

题目意思：有一个回归模型，计算 1977年到 2017年标普500每天的数值。已知 R2 = 0.000599，问标普500 的数值和这一天是星期几有没有关系

因为一周五天工作日，所以周一到周五有五个自变量，但是根据 dummy variable 的性质，只需要假设 n-1 即 4个变量就够了，所以有了题目中从五个到四个的变形。

后面就是直接用F检验带公式计算。

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he123456 · 2021年12月30日

题目中原本的五个自变量相当于是构建的模型是错的么？然后才要按照4个哑变量构建？然后比较？u=β1是为什么

问一道题：NO.PZ2020010801000025

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