fixed income-immunization

“所以其实convexity的条件实际上是为了最小化资产和负债两者dispersion差异的对吗？”

对的。但其实还是无法避免资产的Convexity始终会大于负债的Convexity（除非是零息债券去匹配）。

 “另外cashflow matching可不可以理解成是 资产convexity=负债convexity的特殊情况？”

这种说法不一定成立。Cash flow matching和Duration-matching没有联系，是两种独立的方法。

Cash flow matching，是资产的Cash flow，完美的和负债的Cash flow重叠，也就是说，资产其实就是负债的镜像；

决定Convexity的公式里，资产、负债的Cash flow yield不一定一样。

Cash flow yield就是折现率，在Cash flow matching里面，只是保证资产现金流自然到期时，恰好金额和时间能偿还负债，我们没有对期初资产、负债的PV做出要求。

所以完全有可能资产与负债的现值PV不同；这样的话，两者的现金流模式一样，现值PV不同，所以折现率Cash flow yield就不相同。

求Macaulay duration会用到折现率CFY，所以资产、负债的Macaulay duration不一定相同，这样由上面的公式知道Convexity就不同。

但是有一个特例，就是Duration-matching时，用零息债券匹配单期负债；

用零息债券匹配单期负债时，资产的现值与负债的现值相同，资产负债的现金流一模一样，所以他俩的折现率，现金流离散程度Dispersion、Macaulay duration相同，Convexity一定相等。

所以用零息债券匹配单期负债，是最标准的Duration-matching，其实也可以理解成Cash flow matching，因为就是自然到期的现金流归还负债。

嗨，爱思考的PZer你好：

“为什么单一债务不考虑资产的convexity？”

单期负债时，是考虑到资产的Convexity数据的，我们要求是资产的Convexity数据尽可能的小。

单期负债，可以看成是一个零息债券，在Duration一致的债券里面，零息债券的Convexity数据最小。

根据以下公式，在Macaulay duration、Cash flow yield一致的情形下，债券的Convexity数据和债券的现金流分散程度（Dispersion）成正比

而零息债券的现金流最集中，就集中在债券到期日这一天，所以他的现金流离散程度Dispersion=0，于是在Duration一样的债券里面，零息债券的Convexity数据最小。

所以如果用付息债券组合来匹配单期负债时，资产、负债的Macaulay duration相等，Cash flow yield差不多大，于是资产的Convexity一定会大于负债的Convexity数据。因为负债就是零息债券，他在Duration一致的债券里，Convexity数据最小。

所以，为了尽可能地让资产、负债相似，越相似匹配的效果越好，极限就是用零息债券来匹配负债，所以想要获得匹配效果好，就要越相似单期负债，于是资产的Convexity一定是尽可能的小。

所以在单期负债匹配时，为了实现最优的匹配效果，我们就要求了资产的Convexity足够地小。

当资产的Convexity过大时，在收益率曲线非平行移动时，可能会产生资产不匹配负债的风险（Structural risk）；

举一个例子，假设负债的Macaulay duration=10，我们构建了一个资产Portfolio来匹配负债，Portfolio由15年期的债券、与8年期的债券构成。

这样的话，影响负债的Key rate为10年期利率，影响资产Portfolio的关键利率点位为：15年期利率与8年期利率；

假设收益曲线发生非平行移动，10年期利率不变，15年期利率、8年期利率上升；

这样的话，负债的价值没变；但是资产的价值大幅下降，因为是Key rate发生变化；所以，即便匹配好了资产负债，在这种极端的非平行移动时，资产、负债依然有不匹配的风险（Structural risk）。

为了降低这种风险，需要让资产的现金流足够地集中，假设资产Portfolio是由9.99年期，与10.01年期的债券组合而成，组合的Macaulay duration=10，依然符合匹配条件。这时候，影响负债的利率点位是10年期利率，与影响资产的关键利率点位十分接近，差不多就是10年期，所以非平行移动时，资产、负债的表现完全一致，实现资产、负债匹配。

所以，资产的现金流越集中，匹配单期负债的效果越好，这就是Convexity尽可能小的原因了。

极限就是用零息债券去匹配负债，影响资产、负债的利率就只有10年期利率；资产、负债的变动永远同步，永远没有不匹配的风险。

所以发现，在Macaulay duration一致的情况下，资产的现金流越集中在Macaulay duration附近，Strucutral risk越小。所以为了实现最优的匹配，在单期负债匹配时，我们要求了资产的Convexity尽可能的小（但是我们知道，无论怎么降低，资产的Convexity是一定会大于负债（零息债券）的Convexity，除非是用零息债券匹配，只能达到Convexity相等）。

“而多笔债务免疫时是资产convexity>=负债convexity。”

多期负债的要求是：资产的Convexity > 负债的Convexity，没有等于的条件。

多期负债，可以看成是多个单期负债的组合。所以我们也可以把多期负债拆成多个单期负债来分别匹配（可以这么理解）

这样的话，如上图，蓝色的线代表多期负债，我们先匹配里面的第一个单期负债，最左边的一笔负债，如果要实现匹配最优，那资产组合的现金流就如上图红线所示，资产组合的现金流一定足够贴合负债的现金流蓝线，这样的话，资产的Convexity大于负债的Convexity；

如果这个多期负债中的每一笔单期负债都这么匹配的话，可以看出来，资产的现金流一定是包裹着负债的现金流的。

于是，多期负债匹配里，资产的现金流更分散，资产的Convexity一定是大于负债的Convexity的。

在多期负债匹配里，只要资产的Convexity大于负债的Convexity，就已经实现了匹配的要求。

如果我们要尽量提高匹配精度，那就在大于的基础上，再尽可能地降低资产的Convexity，这样Convexity尽可能最小的组合，就是Most appropriate to duration-matching。

总结下：

单期负债里面，已知资产的Convexity一定是大于等于负债的Convexity的，所以一定要最小化资产的Convexity，提高匹配的精度；

在多期负债里面，只有先让资产的Convexity大于负债的Convexity，才符合多期负债匹配的条件，这已经能满足匹配。如果要提高精度，选择Most appropriate的匹配组合，就要在大于的基础上，尽可能的降低资产的Convexity。

-------------------------------
就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！