三级Fixed income Reading 21 讲义141页 Floating-rate Bond的Duration

"那么对于non-callable, fixed-rate债券，Modified Duration, Effective Duration, 都是利率变动1单位价格的变动是吗？"

这里有点问题。

首先对于Non-callable、Fixed-rate bond，Modified duration与Effective duration是相等的（近似相等）。

然后Modified duration是债券的收益率YTM发生改变，来影响债券价格的。不论YTM的改变是来自Benchmark rate还是Spread，最终都是使得YTM改变，然后影响到债券价格的。

而用Effective duration，是按住Spread不变，只是Benchmark rate改变，来影响到债券价格的。

写一下传导路径：

债券的YTM = Benchmark rate + Spread。

对于Modified duration，我们不区分YTM的改变来自哪，只要是YTM的改变，就会通过Modified duration影响到债券的价格。

例如，Benchmark rate +1%，Spread不变，那债券的YTM改变是1%；

债券的价格波动大小是（忽略负号）：1% × Modified duration

如果Benchmark rate不变，Spread + 1%，那债券的YTM改变是1%；

债券的价格波动大小是（忽略负号）：1% × Modified duration

这也就解释了为什么不含权的固定利率债券，Spread duration和Modified duration相等。

因为Spread duration是按住Benchmark rate不变，只让Spread变，通过Spread duration看看债券价格的变动幅度，所以公式是：

Spread Change × Spead duration

对于不含权的固定利率债券，按住Benchmark rate不变，只让Spread变，最终还可以传到到YTM的改变上，且YTM的变动幅度与Spread的变动浮动一致。所以公式是：

Spread change × Modified duration

因为两种方法计算下来的债券价格变动幅度一致，所以可知，不含权的固定利率债券: Spread duration = Modified duration。

而对于Effective duration，我们是认为Spread永远不变，改变的只是Benchmark rate。

从Effective duration的计算方法，就可以理解了：

如果要计算某个利率点对应的Effective duration，我们是按住债券的Spread不变，然后假设Benchmark rate上升、下降。这样债券的折现率就是会改变：Benchmark rate + Spread，我们可以算出来Benchmark rate上升与下降时，债券两个新的折现率，进而算出来债券新的两个价格。有了债券价格的波动，与Benchmark rate的变化，我们就有了在一个确定Spread的情况下，债券的Effective duration。

所以发现，Effective duration这个路径，是只有当Benchmark rate改变时，才能通过这个路径影响债券价格。当Spread改变时，无法用这个路径计算债券价格的波动。

对于不含权的固定利率债券，Effective duration与Modified duration相等，是这么理解的：

Benchmark rate改变1%时，通过Effective duration，债券价格的变动时：1% × Effective duration

对于不含权的固定利率债券，按住Spread不变，Benchmark rate改变1%，最终还会使得YTM变动1%，所以也可以通过Modified duration来影响债券的价格：1% × Modified duration

因为两种算法下，债券价格的波动一致，所以知道不含权固定利率债券的Modified duration等于Effective duration。

如果是Spread改变，按住Benchmark rate不变，那就只有Modified duration这个路径了。Effective duration走不通。

总结一下：

YTM = Benchmark rate + Spread。

对于不含权的固定利率债券，当只有Benchmark rate变化时，债券的YTM改变，且YTM变动幅度与Benchmark rate变动浮动一致；所以通过Modified duration来影响债券的价格是：benchmark rate change × Modified duration

因为只有Benchmark rate变动，所以用Effective duration计算债券的价格波动是：

benchmark rate change × Effective duration

这两种计算方式下，债券价格波动一致，所以可知不含权的固定利率债券：Effective duration = Modified duration；

对于不含权的固定利率债券，当只有Spread变化时，债券的YTM改变，且YTM变动幅度与Spread变动浮动一致；所以通过Modified duration来影响债券的价格是：Spread change × Modified duration

因为只有Spread变动，通过Spread duration计算债券的价格波动是：

Spread change × Effective duration

这两种计算方式下，债券价格波动一致，所以可知Spread duration = Modified duration；

以上结论只对不含权的固定利率债券成立。

以上所有的内容，只是帮助理解，实际上是综合了1、2级的固收内容，我们三级的要求是只要结论和应用，理解了就能帮助记忆，不要求推导与计算。

“另外还想再问一句，empirical duration, 是用回归去做的，这个和effective duration有什么区别呢？？不都是实际上的duration吗？”

不是的。

Effective duration和Modified duration是一类，使用的是理论值计算的Duration，所以可以把他们理解成理论值。

Modified duration是根据Yield与Price关系求导得到。

Effective duration是假设Benchmark rate变动，然后根据债券折现求和公式，分别算出Benchmark rate涨、跌后的价格。已知价格的变动，已知利率的变动幅度，那他们相除就可以求出Effective duration。

这两个Duration，用到的都是债券折现求和公式里的债券价格，所以是理论值求得的Duration数据。

Empirical duration是用市场上债券的真实价格（Price），与Benchmark rate的真实变动，两者回归出来的Duration。

这个Duration是从实际市场数据中得到的，所以和理论值Effective duration有一定差距。

我们原版书给的结论是：实际数据求出来的Empirical duration一般都小于理论值。

因为Emipiral duration与Effective duration的Benchmark都是基准利率，所以比较时，是用Emipirical duration与Effective duration比，也就是求出来的Empiral duration小于理论值Effective duration。

嗨，爱思考的PZer你好：

“前面几章不是讲过浮动利率债券的Duration等于reset period的一半吗？如果单看一个时间点，因为coupon 累积有duration，平均是reset period的一半， 如果看整体duration怎么就等于0了呢。”

是的，没有问题。

两个Reset Period之间，可以把他看成固定利率债券。因为在Reset期初，就确定了期末的Coupon rate。

假设债券是半年调息一次，那我们就以0至0.5这个时间段为例，在零时刻他的Macaulay duration最大，是0.5 years，在0.5时刻他的Macaulay duration最小，为0 years；

所以在0~0.5这个时间段，他的平均Macaulay duration = 0.5/2=0.25

一般如果不是精确求Duration，只是粗略的衡量利率敏感度，那这个数字太小了，所以我们近似认为是零了。

“所以在算duration的时候，其实利率变动就是指基准利率是吗，spread变动不算？”

是的。

一般而言，从利率的敏感度出发，我们有2种Duration：

第一种是：债券的收益率（YTM）变动1单位时，债券价格的敏感度；这种称为Yield duration，例如Macaulay duration/Modified duration属于这种。

第二种是：基准利率变动1单位时，债券价格的敏感度。这种称为Curve duration，例如Effective duration属于这种。

对于浮动利率债券，因为他的Coupon是随波逐流变动的，所以我们无法站在期初给债券算一个有效的YTM收益。所以浮动利率债券，就无法算出来第一种以YTM为Benchmark的Duration数据（Yield duration），所以我们只能给他算一个Curve duration，就是以基准利率为Benchmark，算出的Effective duration。

只要算不出YTM的债券，他只能算第二种Effective duration，存在这种情况的还有含权债券。

所以，在三级这里，我们有结论：含权债券、浮动利率债券，只能用以基准利率为Benchmark的Effective duration。而不能用Modified duration.

-------------------------------
虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！