”但是讲义只是说laddered更好（言外之意就是比bullet和barbell都好？），而且解释的角度是更加的diversified。”
对的。
在三个组合Duration相等的情况下，Bullet、Barbell的组合，现金流集中在某个点、或者某个小区域，这些点位的权重高，所以Non-parallel shift对两个组合的影响大；
相比而言，Laddered的现金流分散在收益率曲线上，每个点位的权重相对较小，Non-parallel的变动通过某些点位对组合的影响就小。
这就是教材说的：Laddered portfolio具有优势是Protection from shifts and twists，并且该优势是比Barbell/Bullet要好的。
优势的原因就是：the cash flows are essentially “diversified” across the time spectrum；因为Laddered portfolio的现金流更加分散。
这个优势与上一个回复提到题现金流管理，都是Laddered portfolio自身的优势，于Immunization无关。哪怕不用组合做Immunization策略，Laddered portfolio这些优势也是存在的。
如果考虑到免疫策略，Barbell、Bullet、Laddered策略，在Duration、Cash flow yield相等的情况下，因为Convexity有如下公式：
所以知道，Barbell的Convexity最大、Laddered次之、Bullet最小。
所以在考虑匹配时，Barbell组合的Strucutral risk最大、Laddered次之，Bullet风险最小。也就是在非平行移动时，Laddered受到的影响居中。
为什么在考虑匹配时，在Shifts和Twists时，Laddered portfolio提供的保护是居中呢？
因为这匹配的效果是相对于负债的变动而言的。
对于Bullet组合，现金流就集中在负债到期日附近，影响资产、负债的单个利率点很接近（基本相同），所以哪怕收益率曲线是非平行移动，由于资产、负债的Key rate差不多，所以非平行移动，对资产和负债的影响很接近，于是非平行移动时，资产不匹配负债的风险就小。
而Laddered portfolio，因为现金流离负债现金流较远，影响资产、负债的利率点位有一定偏差，所以收益率曲线的非平行移动，对资产、负债的影响就有差异了，于是非平行移动时，资产不匹配负债的风险就相对较大。
而Barbell portfolio，因为资产现金流离负债现金流很远，影响资产、负债的利率点位偏差大，所以收益率曲线的非平行移动，对资产、负债的影响差异较大，于是非平行移动时，资产不匹配负债的风险就最大，即Structural risk最大。
以上解释了，在匹配负债时，Laddered portfolio，在Twists和Shifts时，Structural risk居中，免疫的效果居中。
”是不是因为如果用bullet，虽然convexity小了，但是很可能导致了convexity asset比liability都小了，所以bullet必然也是不合适的？”
不会的，在匹配时，考虑Barbell、Bullet、Laddered这种现金流分布的问题时，是基于他们的Macaulay duration相同，然后比较现金流的分布。否则光比较现金流分布没有意义，一定是在Macaulay duration一样的情况下比较才行。
所以这三种类型的组合在比较时，是匹配单期负债的。因为只有单期负债匹配才看Macaulay duration数据，多期负债匹配是忽略Macaulay duration的，只看BPV数据。
在资产的Macaulay duration等于负债Macaulay duration的情况下，也就是达到匹配时，资产的Convexity一定会大于负债的Convexity。
下图蓝线，是负债的到期现金流，如果匹配单期负债用Bullet组合，就是下图的两个红线构成的Bullet组合。
当两个红线越贴近蓝线，代表资产的现金流发生时间越靠近负债现金流的发生时间，资产的Convexity数据越小，匹配的效果就越好。极限就是红线与蓝线重合（这种情况就是用Zero-coupon bond去匹配），如果用附息债券组合去匹配的话，只能是资产的现金流分散在负债现金流周围，如下图红线分散在蓝线周围。
这样，其实Macaulay duration达到匹配条件时，资产的Convexity数据一定大于负债的Convexity数据，因为资产的现金流更分散。
所以在Macaulay duration相等时，不存在Bullet资产的Convexity比Liability小。
而在多期负债匹配时，基本不看资产现金流的分布状况，也就是不讨论Barbell/bullet/laddered这种情况，直接看资产的BPV与Convexity数据即可。
总结一下：在匹配的情况下：Laddered portfolio在三个组合的表现居中，Reinvest risk、Structural risk（非平行移动的匹配效果）居中。
在讨论Ladddered portfolio自身优点时：具有Liquidity management、可以滚动投资更长期、获得以更高的Yield、更Diversify所以受到非平行移动影响小于Barbell/Bullet（也就是Shifts和Twists的提供的保护要更好）。
