有2个问题

第一个问题：
资产的Macaulay duration等于资产的投资期时，就可以满足Reinvestment risk = Price risk。

这个推导，其实在一级的时候是通过实际数据算的，已知债券的数据，然后设定不同的投资期，然后看看利率变动时，债券收益率的变化。

发现只有当债券的投资期等于其Macaulay duration时，利率的一次变动对债券的收益率没有影响。

所以我们可以得到一个结论：

当债券的投资期等于债券的Macaulay duration时，债券能够获得稳定的收益率，即债券的Reinvestment risk = price risk，两者相互抵消。

因为利率通过Reinvestment risk和price risk来影响债券的投资收益率，利率变动不影响债券的收益率，说明Reinvestment risk和price risk相互抵消。

这个可以当成债券Macaulay duration的性质。

如果用数学推导的话，会比较复杂，不在我们考试的体系里。

投资一个债券，如果投资期比较短，在债券生命期的早期就卖出债券，债券的Price risk占主导，因为这时候债券的Duration还比较大，利率变动时，债券的卖出价格变动比较大。假设只持有5个月，半年付息一次的第一笔Coupon还没拿到，所以不存在Reinvestment risk；

所以可以知道投资期在债券生命周期的早期，是Price risk占主导影响，而Reinvestment risk很小。

如果投资期比较长，在债券生命期的后期卖出，这时候债券的Reinvestment risk占主导，因为债券很快就要到期，债券的价格趋于面值，持有期间利率的变化对卖出价格影响不大；而持有期间利率的变动会影响到Coupon再投资的收益，因为Coupon累计较多，且投资期较长，复利时间较长。所以可以知道在债券投资期的后期，Reinvestment risk占主导，而Price risk较小。

所以随着投资期由短变长，债券的Reinvestment risk的影响由零开始由小变大，而债券的Price risk的影响由大变小直至变为零，于是会出现一个投资期时长，使得两者相交于一点，即Price risk的影响等于Reinvestment risk的影响。这个投资时长，就是Macaulay duration。

而利率变动时，对Price risk和Reinvestment risk的影响方向是相反的。

所以在投资期等于Macaulay duration时，两者抵消。投资债券可以获得一个稳定、确定的收益，一次利率的变动不会影响投资债券的收益。

这样投资期的债券可以产生稳定的收益，用他去匹配负债，可以很安全，所以让资产的Macaulay duration等于资产的投资期，产生稳定收益，再让其等于负债的期限（负债的Macaulay duration），这样可以安全的匹配负债。

第二个问题：

6.0004是这个Portfolio最准确的Macaulay duration数据，是完完全全按照求Macaulay duration的方法算的。我们做Duration matching时，应该使用这个数据。

而使用那个简单的平均Average macaulay duration是不准确的。

如果使用简单的平均，会引入Model risk。

两者不相等是因为在标准的求法里，求6.0004的过程中，把不同债券的现金流叠加，把这个债券组合当成一个大的债券，然后组合所有现金流使用同一个折现率折现，即Cash flow yield；然后对这个大债券求Macaulay duration。这就是按照定义求得标注的Macaulay duration。

而在简单的平均里面，就是对组合内不同债券的Macaulay duration求平均，而不同债券的Macaulay duration是使用其自己的YTM对自己现金流进行折现，从而求得的自己的Macaulay duration。

发行第一种方法是用组合的Cash flow yield求的Macaulay duration，第二种方法是用债券各自的YTM求得，而债券的YTM大于组合的Cash flow yield，所以第二种方法里求出来的Macaulay duration会更小，