YTM 的假设问题

大多数情况下，投资债券获得的realized return并不会等于YTM。因为如果真的要实现YTM大小的投资收益率，需要3个假设，这3个条件比较苛刻。

第一，债券不违约，cash flow按时、足额拿到；

第二，持有债券至到期；

第三，整个投资期间的利率不变，coupon的再投资收益率就是期初的YTM（initial YTM）

持有至到期这个假设可以再推导一步，就是，即便不持有至到期，只要卖出价Sell price的折现率一直都是期初的YTM，那么获得的realized return也是等于期初YTM的。

比如，3年期的债券，投资2年，这不是持有至到期，但只要保证第2年期末卖出的时候，卖出价依然使用期初YTM折现的即可。那么这2年的annual return = 期初YTM。

当然，如果是持有至到期的话，是整个3年的annual return = 期初YTM。

以上3个假设条件，其实从债券的折现公式就可以看出来，先证明最开始的3个假设条件。假设期初90买入债券，2年期债券投资2年，每年的coupon是c，折现率是YTM，那么期初买入价90有折现公式：

等式两边同时乘以（1+YTM）^2

等号的右边90×(1+YTM)^2，其实就代表，期初投资90元，投资期间2年真正的实现YTM这个投资收益率。

等号左边的式子就展示了，要实现这个投资收益率需要满足的假设条件。

第一个，注意到，每一期的cash flow都是按时足额拿到的，不能违约，所以才有正确的复利时间；

第二个，债券要持有至到期，因为收到了期末的本金100；

第三个，coupon的期间再投资收益率一定是期初的YTM不能改变，如第一年拿到的coupon是以YTM再复利了一年。

只有满足以上3点，等式才会成立，期初的90投资才能真正地实现YTM的投资收益率。上式就证明了，要实现YTM的投资收益率，需要满足的3个条件。

持有至到期这个假设，可以再多推导一步，就是债券不一定要持有至到期，只要是折现率没变，期末卖出的折现率依然是期初的initial YTM即可。现在做以下证明：

期初90元买入债券，3年期债券，期初买入时折现率是YTM，这个90可以用折现公式写出来：

投资2年，在第2年年末卖出，先用期初YTM折现，算出卖出价：

期初投资90，投资真正实现的收益率realized return记为r，则如果真的实现了2年的投资收益率是realized return，有：

左边90×(1+r)^2代表投资2年真的实现了realized return = r；

右边的式子展示了条件，即，第一年的c再投资是（1+r），第二年收到c，以及sell price。

现在我们把上面求出来的sell price代入，看看式子的效果是啥：

再把90用最开始的YTM折现公式进行替换：

展开有：

注意，左右两边cash flow折现式子完全一样，如果式子相等，那么r=YTM必须成立。

这就证明了，哪怕不是持有至到期，只要期末卖出债券时的折现率依然是期初YTM，那投资期内获得的收益率就是YTM。这就是持有至到期这个假设可以做进一步的推导。

其实关于3个假设的第3条，coupon的再投资收益率必须要是期初的YTM，这个假设也可以做进一步推导。投资期如果是3年的话，第1年的coupon再投资利率是未来1年后的2年期利率，第2年的coupon再投资利率是未来的2年后的1年期利率，如果这两个利率都是期初的YTM，那说明，整条利率曲线时水平的flat，并且在投资期间，利率曲线并未发生改变。

所以这3个假设条件，关于持有至到期和coupon的再投资收益率是YTM这2条，可以做进一步推广。总之就是，只要保证coupon的再投资利率，提前卖出price的折现率，都是期初的Intial YTM，那么实现的realized return就是期初的YTM.