为什么收益率曲线向上倾斜，average duration小于portfolio duration？ 老师能解释下原因吗

讲义的意思是收益率曲线向上倾斜，average duration一定小于portfolio duration；收益率曲线向下倾斜，average duration一定大于portfolio duration，有这个说法吗？能解释下吗？

有这个说法。

教材就是讲义这个案例的数据，然后说因为收益率曲线是向上倾斜，所以portfolio duration大于average duration

原因教材没有展开讨论。但理解的话是这样：

把组合当成一个大债券的话。这个大债券的期限一定小于成分债券中期限最大的一个。

例如，2.5-year, 7-year, 10-year三个债券组成组合。

把组合当成大债券，他的期限一定小于10-year。例如，组合是8年期债券

由于收益率曲线向上倾斜，这就会导致，8年期组合的Cash flow yield小于10年期债券的YTM

如果算Average duration的话，10年期债券的折现率是较高的10-year YTM

而算portfolio duration，同样是10年期债券的cash flow，其折现率变成了更低的8-Year cash flow yield.

由于折现率变小，则10年期债券的每笔cash flow的权重会变大。我们知道，portfolio duration是按照定义，给cash flow发生的时间进行加权平均。由于10年期的cash flow发生时间更晚，且其cash flow的权重变大，则算出来的组合portfolio duration会变大。

这就是导致portfolio duration更大的原因：

Average duration的后期现金流折现率更大，为长期债YTM

Portfolio duration的后期现金流折现率更小。这导致后期现金流的权重变大，给后期时间的权重变大，则Portfolio duration更大。

因为教材没有给直接的结论，只是说了，因为收益率曲线向上，所以案例的portfolio duration更大。但我自己感觉是，大部分情况下，这个说法是成立的。但如果有一些特殊的权重配比，可能不会成立。

这块实际知道有这种情况发生即可，因为教材是以案例的形式提到了，并没有展开讨论，也没有形成结论。

在这道题的数据里，Average duration是算下来小于Portfolio Duration。换一组债券的现金流数据后，大小关系可能会变化。

主要原因就是，2个duration是基于不同期限的YTM算的。当曲线呈现向上、向下时，不同期限的YTM不一致，这会导致算出来2个duration不一样。

只有当收益率曲线水平时，算出来的Average duration才等于Portfolio duration

像这道题里面，组合由3个债券构成，2.5-year, 7-year和10-year

如果是Average duration的话，相当于是基于3个YTM算的duration。分别是2.5 year, 7-year, 10-year

而如果算Portfolio duration，把组合当成一个大债券，组合相当于是一个介于2.5~10年期的债券。例如，有可能是一个8年期的债券。

所以此时，组合的Portfolio duration基于8-year算的。

因为收益率曲线向上倾向，所以（2.5-y, 7-y, 10-y）和8-y不同，于是基于2者算的duration自然不同。

至于2个类型的duration谁大谁小，这个不一定，还得看组合内各个债券的权重分配，以及收益率曲线的利率差异程度。

这块的例题展示的一个点就是：当利率曲线倾斜时，真实的组合数据和average数据有差异。