梦梦 · 2024年08月13日

关于预测Et

NO.PZ2020011101000019

问题如下：

When modeling $ln Y_t$ using a time trend model, what is the relationship between $exp E_T[ln Y_{T+ h}]$ and $E_T[Y_{T+ h}]$ for any forecasting period h? Are these ever the same? Assume the error terms is normally distributed around a mean of zero.

解释：

A time trend model for $ln Y_t$ can be stated as:

$ln Y_t = g(t) + \epsilon_t, \epsilon ∼ N(0, \sigma^2)$ ,

where g(t) is a function of t.

So,

$E_T[ln Y_{T+ h}] = g(T + h)$ ,

which gives

$exp E_T[ln Y_{T+ h}] = exp [g(T + h)]$ ,

On the other hand:

$E_T[Y_{T+ h}] = E_T[exp(g(T + h) + \epsilon_{T+ h})] = exp(g(T + h) + E_T[exp \ epsilon_{T+ h})]$ ,

which equals

$E_T\lbrack Y_{T+h}\rbrack=exp\left[\lbrack g(T+h)+\sigma^2/2\right]$

And so:

$E_T\lbrack Y_{T+h}\rbrack=expE_T\left[\lbrack lnY_{T+h}+\sigma^2/2\right]$

These will be equal if the variance is zero (in other words, if the process is completely deterministic.

老师好，1、红线等式看不明白，是怎么等价过来的呢？2、蓝色线是为什么相等呢？能给个推导过程吗？

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7 个答案

pzqa27 · 2024年09月23日

嗨，从没放弃的小努力你好：

如下图

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就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！

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梦梦 · 2024年09月26日

问答太多有点儿乱，老师我推了一下，重新发起个提问

pzqa27 · 2024年09月19日

嗨，努力学习的PZer你好：

这个是指数函数的恒等变形啊，按如图的方式带入，然后就是下面的结果

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加油吧，让我们一起遇见更好的自己！

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梦梦 · 2024年09月22日

？E（X）带入e（T+h）？？？没明白，这俩有关系吗？怎么代的啊

pzqa27 · 2024年09月18日

嗨，努力学习的PZer你好：

这个题的结论是有可能会考到的，但是这个题的推导过程是不会考察的，同时这个题并非选择题，也不太符合考试的标准，这个题同学可以当成是练习题，训练下对应的知识点即可。

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！

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梦梦 · 2024年09月18日

好的，“把这个结果带入我们之前期望的表达式得到”和 “化简后”这两个地方还是没看懂😭😭😭

pzqa27 · 2024年08月26日

嗨，爱思考的PZer你好：

给定时间趋势模型:

其中

在未来的时间点 T+h，模型变为：

我们希望找到 YT+h 的期望值，即 ET[YT+h]。

根据

可以得到

对于正态分布，我们带入这个公式把这个结果带入我们之前期望的表达式得到

化简后

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就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！

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梦梦 · 2024年09月16日

考试会考察到这道题的哪些知识点？

pzqa27 · 2024年08月23日

嗨，爱思考的PZer你好：

1、“ET（exp（g（T+h）））是 Yt+h的期望”为什么不是exp（g（T+h））的期望呢？

exp（g（T+h））=e^(ln （T+h）)=Yt+h

2、是说g（T+h）相当于均值u？所以是+1/2*西格玛，为啥呢

这里实际上是对数正态分布的性质：

题目里的模型是：lnYt = g(t) + e，也就是yt服从对数正态分布。

根据上图，E（Yt）= exp(g(t) + 1/2 * σ^2)。我们用t+h替换t就行了。

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就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！

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梦梦 · 2024年08月25日

但是为什么E（Yt）= exp(g(t) + 1/2 * σ^2)？

pzqa27 · 2024年08月20日

嗨，从没放弃的小努力你好：

1、exp是求期望的意思？

就是e的多少次方的意思

Et也是求期望的意思？即在t时刻的预期？

是的

ET（exp（g（T+h）））又是啥意思？

Yt+h的期望

2、蓝色线在等价时，e哪儿去了呢？

根据这个等式可以写出蓝色的等式

3、西格玛^2/2又是怎么来的呢

根据下图公式变形后得到

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努力的时光都是限量版，加油！

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梦梦 · 2024年08月22日

哦！还有两个地方不太明白，1、“ET（exp（g（T+h）））是 Yt+h的期望”为什么不是exp（g（T+h））的期望呢？2、是说g（T+h）相当于均值u？所以是+1/2*西格玛，为啥呢

pzqa27 · 2024年08月14日

嗨，从没放弃的小努力你好：

1、红线等式看不明白，是怎么等价过来的呢？

2、蓝色线是为什么相等呢？

题目给了“lnYt=g(t)+ϵt”，你把Yt换成Yt+h就行了。

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加油吧，让我们一起遇见更好的自己！

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梦梦 · 2024年08月20日

1、exp是求期望的意思？Et也是求期望的意思？即在t时刻的预期？这俩有啥区别？“ET（exp（g（T+h）））又是啥意思？ 2、蓝色线在等价时，e哪儿去了呢？ 3、西格玛^2/2又是怎么来的呢

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