这个地方的总结老师可以帮忙再整理下么？感觉讲的不是很清楚。

这块的duration就用Macaulay duration来分析就行了。因为modified duration和Macaulay duration是成正比关系的，结论也可以直接推广过去。

Macaulay duration是债券现金流发生时间的平均数，权重是这个时间点现金流PV的占比。

比如，3年期债券，每年付息，coupon是5，面值100，发生时间点有3个，第1年，第2年，第3年。

Macaulay duration就是这3个时间1,2,3的加权平均，其中1的权重是这个期限的coupon现值占债券PV的比例，即PV(coupon=5)/PV(bond)

2这个时间的权重，是这个期限coupon现值占债券PV的比例，即PV(coupon=5)/PV(Bond)

同理，3的权重是：PV(100+5)/PV(Bond)

可以知道，债券到期时间对应的权重最大，因为到期有一笔非常大的本金，这会大幅度拉高最后一笔cash flow的权重。这也说明，债券的macaulay duration最主要的决定性因素就是他的到期日maturity。

所以，债券的期限/到期日maturity越长，他的macaulay duration就越大，两者成一次线性关系；

而债券的coupon rate越低，说明早期现金流的占比越小，对应的就是最后一期CF的占比越大，最后一期的时间权重更大，则债券的macaulay duration也越大。

第二个就是债券的convexity和他的期限maturity成平方关系。如下：

Macaulay duration是时间的平均数，而convexity是时间的方差。假设上面这个债券的macaulay duration是2.2，那么他的convexity（方差是）：

第1笔现金流PV权重×（1-2.2）^2 + 第2笔现金流PV权重×（2-2.2）^2 + 第3笔现金流PV权重×（3-2.2）^2

如果有t笔现金流的话，最后一项可以延伸到：第t笔现金流PV权重×（t-2.2）^2

t其实就是债券的期限maturity，注意看，t有平方，所以convexity和债券的期限t的关系是平方的关系。

所以，macaulay duration和债券的期限是一次关系，convexity和债券的期限是平方关系。那么债券的期限maturity涨一点点时，债券的convexity变动会更大一些。这个3级不考，但是下面结论的基础。

3级关注的点是，两个债券Macaulay duration一样，则coupon rate大的债券其convexity更大。因为：

如果两个债券的Macaulay duration一致，则说明时间的平均数一致。

其中一个债券的coupon rate还很大，这说明债券期间coupon现金流的权重大，债券到期日的现金流权重相对小，这其实会使得债券的Macaulay duration变小，因为有更多的权重给了较小的时间。

那为了让这个债券的Macaulay duration还和另外一个债券的一致，这个债券的到期日必须更晚，只有这样，到期日更晚才能把时间的平均数macaulay duration再给拉大。

所以，2个债券的Macaulay duration一样，coupon rate大的那个债券期限肯定更长。而convexity和期限成平方关系，所以知道Coupon rate大的那个债券convexity要大非常多。

这道题的zero-coupon bond的coupon rate=0，另外一个是付息债券。两个债券的duration还一样大。那这说明，另外一个付息债券的convexity要大很多。

这其实也对应另外一个结论，在duration一致的债券里，零息债券的convexity是最小的。

这是这道题的分析和画框内容总结，重点就关注上面标黄的结论

就duration和convexity的公式里面，yield处在分母上，有点类似于折现率的感觉。如下，单个债券的话，cash flow yield换成YTM，所以Yield越小，convexity越大