single liability convexity

不行，必须要大于负债的convexity，这是硬条件，资产的convexity如果小于负债的convexity，那么这个资产直接排除duraiton-matching的备选组合。

解释一下原因，但不必记忆：

duration-matching的原理是使用投资收益稳定的债券组合，去cover负债。投资收益稳定是指，当利率发生移动时，债券的投资收益不会受到太大的影响，仍然是我们期初买入债券资产时预期可以实现的收益率（cash flow yield）

而债券就是利率的载体，利率改变，债券的投资收益率一定会变。如何让利率改变时，债券还能保持稳定的投资收益呢？

那就是让利率影响债券收益的2个渠道相互抵消。

利率改变，通过price risk和reinvestment risk这两个渠道影响债券的投资收益率。如，当利率上升时，债券的期间现金流coupon会有更高的coupon reinvestment return（coupon reinvestment risk），这会拉高债券的投资收益率，但是利率上升时，债券提前卖出的价格会下跌（price risk)，这会拉低投资收益率。

而利率下降时，债券的期间现金流coupon是更低的coupon reinvestment return，这会降低债券的投资收益率，但是利率下降时，债券提前卖出的价格会上升，这会拉高投资收益率。

所以，利率改变影响债券投资收益的2个通道：price risk和reinvestment risk天然存在一个相反的影响。如果能让这两个影响相互抵消，那么意思就是利率改变就无法影响到债券投资收益了，债券的投资收益就是一个稳定的数值。

当债券的Macaulay duration = 债券投资期investment horizon时，可以实现这点。用这样的、已经实现Immunization债券投资去cover负债就很安全了。

所以，免疫要能成功，资产一定是要同时具备price risk和coupon reinvestment risk，只有这样才能保证两者抵消。

而只有当资产的现金流比负债的现金流更加分散时、资产的一部分现金流比负债早，一部分现金流比负债晚，资产现金流包裹住负债现金流时，此时，这个债券资产才会同时具备price risk与coupon reinvestment risk，实现免疫。

因为试想一下，如果资产的现金流都早于负债，那么所有的asset cash flow都需要再投资者直至负债到期，此时只面临coupon reinvestment risk，不存在提前卖出price risk；

或者资产的现金流都晚于负债，那么所有的asset cash flow都需要在负债到期时提前变现卖出，于是所有的asset cash flow都只有price risk，而没有再投资coupon reinvestment risk。

在以上两个情况下，无法实现债券资产的coupon reinvestment risk与price risk相互抵消，免疫一定不成功。

只有当资产的一部分现金流早于负债到期，需要再投资到负债到期日，此时就存在coupon reinvestmen risk，资产还有一部分现金流晚于负债到期，需要在负债到期日提前变现卖出，此时就存在price risk。只有这样，资产才同时具备这两个risk，才可以实现相互抵消的免疫。

这说明，匹配要能成功，资产的现金流一定要比负债的现金流更加分散，要包裹住负债的现金流。

在duration一样的情况下，资产的现金流更加分散，意味着其convexity会更大。

所以，要想匹配成功，资产convexity大于负债convexity是必须满足的硬条件。但同时，资产的convexity还不能太大，太大会引入structural risk。所以在满足资产convexity更大的基础上，会再要求尽可能Minimize asset convexity。

但因为single liability，负债是一个零息债券，其convexity在同Duration下已经是最小的了，所以无论资产怎么构建，其convexity一定大于single负债convexity，所以在单期负债匹配时，才要求是minimize asset convexity。

Multiple liability duration matching也是一样的理解方法。