phoebeqp · 2024年07月01日
32:15 (2X)
这个二叉树自己算出来都不对。老师课上也没仔细讲，讲题也不讲。。。
讲题说spot rate和coupon可以调整二叉树，到底课上哪分钟讲过？一点印象都没有。课上涉及这部分老师是直接略过的，但是课后题明明又有，课后讲解又略过。真的无语。
σ=0.2
第三期，f(3,4)=4.6674%, 我听完课后的理解是：那i(HHL)=f(3,4)*(e^σ)=5.7008%。那明显是不对的。后面算出来都是错的。请问到底该怎么算？为什么课后题和讲课的时候就不能好好把这部分讲一遍呢？浪费一个小时来搞这件事也没搞懂。
PS：都是在讲题了，能不能从头到尾讲完整呢？大家进度不一样，一般来听讲题都是没做对的某一步看是怎么做的，你偏偏要略过，也不晓得要回到前面哪题的哪个部分去看你说的讲解，也不是同一道题。。。讲课的时候这部分也没带着走一遍，讲题也在这里略过，那这部分到底该怎么学。。。
发亮_品职助教 · 2024年07月02日
利率二叉树的构建需要具备的条件：
1、interest rate volatility, 本题σ=20%
2、forward rate curve，远期利率曲线，这个充当的是二叉树的近似中轴，具体数据在表格里有出现
3、利率模型，我们学过的利率二叉树只有一个模型，利率服从lognormal random walk，即，二叉树内相邻两个节点的利率相差e^2σ
有了以上数据就已经可以构建出利率二叉树了，但是直接构建出来的利率二叉树不一定能反映当前的市场利率信息，所以需要找到市场上刚发行的国债benchmark government bond的信息来校准（calibrate）二叉树，校准的意思就是把二叉树调整成市场利率。
下面利用本题的数据展示一下二叉树的构建与校准的过程：
已知第一期的spot rate = -0.25%，这是二叉树的起点，并且根据表格已知F(1,1)=1.7677%这个是二叉树的近似中轴，现在有了以下图形：
接下来就是，1.7677%是第一期forward rate的中轴，那二叉树的下面节点低利率肯定比1.7677%要低，所以，我们试探性地随便找一个比1.7677%低的数来充当下面这个节点的利率，例如，找到1.40%是这个数，那已知相邻两个节点的利率相差e^2σ，则第一期上面这个节点的高利率是1.40%×e^(2×20%)，画出来就是：
现在我们已经构建出来了第一期的利率二叉树，但有个问题，上下两个节点的利率是我们随便找的，还不能反映市场利率信息，现在我们得在市场上找到可以反映市场利率信息的债券，用二叉树给这个市场债券进行折现。
原理是这样：
找到一个2年期市场债券，已知债券的市场价格，我们默认债券的市场价格是正确的，可以反映市场利率信息，已知债券的coupon rate现金流，现在用这个1期二叉树给债券的现金流折现，看看用二叉树折出来的价格是否等于债券的市场价格。
如果用二叉树折出来的折现价格大于市场价，说明二叉树的利率、折现率太小了，我们得把二叉树上的利率往上进行调整。
如果折出来的折现价格小于市场价，说明二叉树的利率、折现率太大了，我们得把二叉树上的利率往下进行调整。
经过反复试错调整，最终一定能够找到一个合适的二叉树利率，用二叉树利率给债券现金流折现，折出来的价格就恰好等于债券的市场价格。这时候我们就说，二叉树上面的利率已经可以反映市场利率信息了，因为我们是用债券的市场价对其进行了调整。
进行校准的债券并不是随便找的，而是可以反映市场信息的标杆债券，所以我们找到的benchmark government bond来校准二叉树，且是刚刚发行的benchmark government bond，所以其市场价格就等于面值par
下面就利用本题信息对二叉树上的第一期利率进行校准，已知前面构建出的二叉树：
为了利用二叉树第一期利率进行折现校准，我们得找到一个2年期的benchmark government bond，根据表格2（题干已知是par curve），2年期的债券coupon rate = 0.75%，市场价格等于par=100
债券在第2年的现金流面值100和coupon 0.75，用二叉树第1期两个节点的利率分别折现到第一期上下两个节点上，我们得到2个节点的折现值
接着把二叉树t=1两个节点的现金流，用t=0的折现率-0.25%折现，算出来0时刻的折现值：
发现，用二叉树折现折出来的折现值为100.0240，是大于benchmark government bond的市场价100的，这说t=1二叉树上两个节点的利率太低了，折现率过低，导致折现值过高。
所以，我们把二叉树下面这个节点的利率1.40%往大进行调整。假设调整到1.45%，则t=1上面这个节点的利率是1.45%×e^2×20%，如下图：
再利用上面的二叉树折现benchmark goverment bond，看看折现值是否等于债券的市场价格100，折现原理同上，最终折现下来，发现折现值过小，则说明t=1两个节点的利率过高，折现率过高导致债券的折现值过低。
现在我们明确了，t=1下面这个节点的利率取值范围在：1.40%~1.45%之间，我们再经过反复的试错，不断缩小取值范围，最终可以算出来可以反映市场利率信息的t=1下面节点的利率，其数值为1.4197%，则t=1上面节点可以反映市场信息的利率是1.4197%×e^2×20%=2.1180%
用这样的二叉树给benchmark gonverment bond折现，会使得其折现值恰好等于债券的市场价格，说明二叉树上的利率可以反映市场利率信息，那么t=1时刻2个节点的利率已经对市场利率校准过了，如下图是反映市场利率准确的二叉树：
下面利率二叉树往t=2延伸，原理还是一样的，已知利率二叉树的中轴近似地等于f(2,1)，所以试探性地假设t=2时刻的中间节点利率是f(2,1)，查表数值为3.0596%，那么t=2时刻上面节点的利率为3.0596%×e^2×20%，下面节点的利率为3.0596%×e^-2×20%，画图为：
现在把利率二叉树构建到了t=2时刻，已知t=1的利率已经利用benchmark goverment bond进行过校准了，已经反映的是市场利率信息。现在t=2时刻3个节点的利率不一定可以反映市场利率信息，需要校准。现在就找到一个3年期的benchmark government bond，利用二叉树折现。根据表格信息，3年期的benchmark government bond债券coupon rate = 1.50%，市场价格等于面值100
如果折现出来的折现价格小于债券的市场价格100，则说明t=2的三个利率太大了，因为t=1的2个利率已经反映市场利率信息，当折现值不等于市场价格时，问题一定出在t=2的三个利率上。所以需要把t=2中间节点的利率向下进行调整，例如，调整到2.90%，则t=2时刻上面节点的利率是2.90%×e^2×20%，下面节点的利率是2.90%×e^-2×20%
利用这组新的二叉树给benchmark government bond折现，发现折现值过大，大于市场价格100，说明利率又太小了，所以我们得往上调整二叉树利率，经过反复的试错，最终找到了合适的值，就是中间节点的利率等于2.9493%，则下面节点的利率是2.9493%×e^-2×20%=1.9770%，上面节点的利率是2.9493%×e^2×20%=4.3999%，如图，是反映市场利率信息的准则二叉树：
我们再往t=3时刻延伸，然后再校准，再延伸...以此类推
从上面的步骤可以看出，二叉树是边构建边校准。构建需要的信息3个，利率模型，利率波动率，以及中轴forward rate curve
校准是需要用到benchmark government bond的市场信息（现金流及市场价格）。
校准的过程是会用到反复地试错法。一般利率二叉树的构建是直接用excel算的，因为里面会反复地校准试错，手算的话计算量极大，有可能手算了几十次也找不到正确的利率，这也决定了在考试中，基本不太会从零开始让我们构建二叉树。
关于利率二叉树的校准，更多的是关注他的理念和定义，能理解以上的回复就基本掌握到理念了。
这道题的利率二叉树是已知条件，只是题目漏给了。原因有2点，第一个是二叉树的构建和校准不属于本章的考纲，属于前面的章节，并且在前面的章节里面，二叉树也更多的是关注理念，并未出现从零开始构建二叉树；第二个原因是，如果从零开始构建二叉树的话，本题基本没办法做，上面也展示了，反复地试错手算找到准确的二叉树基本不可能，再加上本题还有复杂的CVA计算，那这样的题基本不太可能做的出来了。
