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老师，我这里有个问题，为什么purchase option 会增加portfolio的convexity？
我的疑问是，convexity 和 t^2 相关，putable和callable bond的预期到期日都是比option-free bond 短的，因为会行权，那为什么convexity反而会高呢？
发亮_品职助教 · 2024年06月13日
嗨，从没放弃的小努力你好：
其实就是楼上lehrwang同学的解释。
Option无论call还是put，都是positive convexity，所以如果buy option的话，就会增加convexity；Sell option的话，就会降低convexity。
Option和债券的风险指标是一一对应，可以对标。
Option的价格对标的资产价格一阶导delta，衡量的是标的资产价格变动1单位时，option的价格变动多少。这个对标到债券上，其实就是债券的duration，衡量利率变动1单位时，债券的价格变动多少。
Option的价格对标的资产价格的二阶导gamma，衡量的是当标的资产的价格变动1单位时，option的一阶导delta变动多少。这个对标到债券上，其实就是债券的conveity，convexity是衡量利率变动1单位，债券的一阶导duration变动多少。
所以发现，option和债券的风险指标是对标的，gamma就相当于是convexity。
call option和put option都永远正的gamma，则其就拥有正的convexity。可以利用买option增加债券组合的convexity
关于债券的convexity带来涨多跌少的性质就不再赘述了，下面展示一下为什么option的gamma也是有涨多跌少的性质，gamma就相当于是convexity。
以call option on stock为例，标的资产是stock（其实标的物资产是债券也一样，这里只是想展示call option的gamma有涨多跌少的作用），假设call option的行权价是10元
当标的物股票的市场价格为10元时，此时call option是at-the-money平值期权，此时期权处于行权与否的临界点，这时候option的delta=0.5，意思就是标的物股票的价格上涨1元时，call option的价格上涨0.5元。
当标的物股票的市场价格上涨到了15元，此时call option是in-the-money实值期权，这时候在期权gamma的推动下，会使得call option的delta由开始的0.5上升到1，此时delta=1，意思是标的物股票的价格上涨1元时，option的价格上涨1元。
发现，在gamma的推动下，当股票价格变动有利、call option能盈利时，gamma使得call option的盈利比例一阶导数delta由开始的0.5上涨至后来的1，同样是标的物股票价格上升1元，原来call option能涨0.5元，现在能涨1元，这其实就是涨多！这样的涨多就是gamma带来的。
当标的物股票的价格由10下降至7元时，此时call option是由at-the-money变成out-of-the-money，由平值期权变成虚值期权。
因为标的物股票的价格在下跌，所以call option的价值下跌。但此时call option的价格下跌幅度在放缓，这是gamma带来的跌少。
因为在at-the-money时，call option的delta=0.5，意思就是标的物股票价格下跌1元时，call option的价格下跌0.5元；而当call option处在out-of-the-money时，在gamma的推动下，会使得delta进一步降低，如降低到delta=0.3，意思就是标的物股票价格下跌1元时，call option的价格只下跌0.3元。
发现，同样是股票下跌1元，原来的delta=0.5，使得option价值下跌0.5，现在在gamma的推动下，dleta变成了0.3，1元标的物股票价格的下跌只能带来0.3元的option价格下跌。这本质就是gamma带来的跌少。
所以option的gamma天然具有涨多跌少的性质。put/call option都是正的gamma，put option的分析同理，都具有正的涨多跌少的性质，这种性质也是convexity。
其实本质就是，当标的物资产的价格有利变动时，put/call option的盈利速度在逐渐变快（涨多），当标的物资产的价格不利变动时，他们的亏损速度在放缓（跌少）且最大亏损就是个期权费
那在债券组合里，通过直接buy/long option就可以增加涨多跌少的性质convexity，通过sell/Short option就可以降低convexity
除了直接long/short option改变组合convexity之外，由于long putable bond存在一个long put option on bond，所以他的convexity比普通债券大，把组合内的普通债券换成putable可以增加convexity。
long callable bond存在一个short call option on bond，所以他的convexity比普通债券小，把组合内的普通债券换成callable可以降低convexity。
----------------------------------------------就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！
