Riding the yield curve

这几个Theory的存在，可以帮助解释收益率-Maturity曲线的形状，也可以将长期收益率中包含的部分拆解出来。

在Pure expectation theory中，他认为的是，当前收益率曲线中蕴含的forward rate一定能实现：forward rate is an unbiased predictor of the future spot rate.

假设现在有一个10年期债券，在Pure expectation theory下：

站在0时刻，算出来第2年年末的债券价格（折现到第二年年末）；和真的2年过去了，站在第二年年末（此刻）算出来的债券现值是一样的。

因为第一个价格，用的是forward rate折现；第二个价格用的是spot rate折现。

而forward rate是future spot rate的无偏估计。

或者说2年过后spot rate和当初预测的forward rate一样。

Riding the yield curve要成功，需满足以下条件：

1. 收益率曲线upward-sloping，（意思就是forward rate大于spot rate，且forward rate是upward-sloping的）

2. 收益率曲线stable，这个stable是指，今年收益率长什么样，明年还长什么样；你也可以预测5年内，10年内，收益率曲线stable，我们简便讨论就预测明年的一样。

3. 债券maturity大于investment horizon。

这个道理其实就是：upward sloping的spot rate，说明当前forward rate高于当前spot rate，如果策略实施者预测未来spot rate和当前spot rate一样，那么就是在策略实施者眼里认为未来的spot rate低于当前市场的forward rate；

即，在策略实施者眼里，一年过去后，未来现金流的折现率，是低于当前市场价格里用到的forward rate的折现率的。

所以在他眼里，1年过去后，由于收益率曲线不变（没有实现市场预期的forward rate），所以他认为折现率更低，他认为债券价格的应该更高，如果不是持有至到期，提前卖出可以获得capital gain。

举个例子：

如下图，已知 1-year spot rate是2%；2-year是4%，3-year是7%；4-year是9%；

从spot rate可以求出来forward rate；

f(1,1)=6.04%；f(1,2)=9.59%；f(1,3)=11.44%

假设投资期只有1年，我们买一个1-year zero coupon bond，那么我们持有一年的收益率是2%；

我们买一个2-year zero coupon bond，买入价是：92.46；

如果一年过去了，2-year bond还有maturity 1年，如果市场的spot rate如forward rate所预期，（即pure expectation theory成立），即当前的1-year spot rate是6.04%，那么此时我们卖出债券的价格是：94.30.

那么我们持有这个债券的收益率是：1.99%约等于2%，发现和持有1年期ZCB的收益率一模一样。

这就是pure expectation里说的，投资期限一样，不论买多上期限的债券，收益都一样。

而在riding the yield curve要求了收益率曲线不变，那么在策略实施者眼里一年后的spot rate没有实现当初的forward rate，且比当初的forward rate更低，1年后的spot rate如下：

1-year是2%（低于当初市场预测6.04%），2-year是4%，3-year是7%，4-year是9%；

如果当初买的是1-year ZCB，此时到期，收益率为2%

如果当初买的是2-year ZCB，买入价时92.46；

那么此时的卖出价是：98.04

那么这个策略的收益是：6.03%

所以riding the yield curve成功的关键是，未来的spot rate没有实现当前forward rate的预测，反而比forward rate更低。我们要求的yield curve stable，就是未来spot rate比forward rate预测更低的一种情况。当然未来spot rate更低更好，例如1-year spot rate是0.2%，2-year是1%等等，比yield curve stable更低，做类似riding the yield curve策略更好。