经典题fix income reading22 题目2.2为啥convexity大 structure risk 大，不好 。

Hi, danvinci,

在duration一定的情况下，ZCB的Convexity最小。

这是因为，Convexity的大小与Cash flow dispersion的大小有关。

Cash flow dispersion衡量现金流分布在Macaulay duration的远近的程度。

而ZCB只有一笔Cash flow发生在Macturity；所以其cash flow dispersion = 0

当然Convexity还与其他数据有关，所以我们会说：

a zero coupon bond has the lowest convexity of all bonds of a given duration.

你的第二个问题：你可以将immunization理解成：

1. duration matching 2. convexity matching

这样理解是没问题的，这也是CFAI之前的教材里也提到过的。只不过以前是把平行移动非平行移动分开讨论的；今年是直接讨论收益率变动对immunization的影响。

所以，今年换了参考书，说法也变了，今年是尽量保证asset portfolio Convexity足够小，（就是保证asset convexity与liability convexity之间的Gap足够小），目的就是保证非平行移动时的immunization效果。

I have a silly question but it’s been bugging me. Zero coupon bond has the highest convexity right? If the mandate is to match single liability - similar to zero coupon bond, shouldn’t we try to match its convexity which is the highest? After reading your explanation, I think it helps clarify that minimization of the portfolio convexity statistics doesn’t mean simply finding the smallest convexity. It has to be matching with the convexity of the liability. Thanks in advance!

structural risk是说收益率曲线的非平行移动移动、twists，asset portfolio是否能很好的match liability。

如果要让structural risk足够小，在match single liability里面就是让convexity足够小，以让convexity来match ZCB的convexity，也是liability的convexity。

而在match multiple liability时，收益率曲线的non-parallel shift、twists也会出现structural risk。

但是我们教材里面没有像match single liability一样，展开讨论structural risk。

有一句话提到过，如果要保证non-parallel也能很好的match，就让asset portfolio convexity满足大于liability portfolio convexity这个条件的基础上，尽可能的让asset portfolio的convexity小。相关表述放在最后了。

match multile liability的基本框架是：要求了asset portfolio的convexity大于liability的convexity，这是因为asset portfolio的现金流要包裹住liability的现金流；即现金流更分散。

从债券价格变动上来说，如果duration一样的情况下，convexity越大越好，因为涨多跌少。但是这并不能代表，asset convexity超过liability convexity越多越好。

因为如果有twists，和non-parallel移动，从match single liability那里牵引过来，convexity也要尽量match。

所以如果要保证Non-parrallel移动也能较好的match multiple liability，在保证asset portfolio convexity大于liability convexity的基础上，需要尽量让asset convexity尽可能的小。

在Match single liability时，例如，5年后有一笔liability到期，liability为100万。

最优的match策略，就是直接买一个5年后到期面值为100万的Zero-coupon bond，持有至到期。这样5年后就有一笔确定的现金流可以match liability。无论收益率曲线是平行移动、非平行移动、twists，都不会改变Zero-coupon bond到期时收到面值100万去match liability。这里收益率曲线的平行移动，非平行移动、twist，ZCB都能match liability.

如果asset portfolio用Coupon-paying bond去match single liability时，我们尽量让asset portfolio表现的足够像Zero-coupon bond，那么match的效果越好，因为ZCB，对于平行移动，非平行，twists仍能match liability。

如何让asset portfolio足够好的模仿ZCB？就是尽量让Asset portfolio的现金流结构足够像ZCB；ZCB只有到期一笔现金流，所以在相同的duration下，ZCB的Convexity最小；

所以当用Coupon-paying bond match liability时，在满足其他match条件的情况下，还要让asset portfolio的Convexity足够小，这样能够足够像ZCB。

这是在match liability时，要确保在平行移动、大多数非平行移动、以及twists，仍能match liability，但是在match maturity后，只有ZCB才能做到收益率曲线的各种移动仍能完美match。

当用coupon-paying bond去match liability时，尽量让asset portfolio足够像ZCB，就可以在平行移动，以及大多数非平行移动match。

这个要求，就必须要让在match liability时，asset portfolio的convexity尽量小。

而在yield curve strategy那里，为了要outperform benchmark，才会在预期yield curve波动率变大的时候，增加convexity，因为会涨多跌少，使得收益大于benchmark；在预期yield curve波动率减少的时候，减少convexity，因为convexity需要成本，波动率减少时convexity发挥的余地有限。发现这里实际上是active bond portfolio management。