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嗨，努力学习的PZer你好：

Single Liability情况cover Liab的条件是

PV_A≥PV_L(≥而不是=的原因下面会解释)

MacD_A=MacD_L

Min Convexity

Multiple Liab情况下cover Liab的条件是

PV_A≥PV_L

BPV_A=BPV_L

Convexity_A＞Convexity_L 且Minimized

Single liability的条件的原理是这样的：

首先，负债的Duration=负债的maturity（因为只有一笔现金流）①，由于资产是为了匹配负债，因此在负债到期的时候，资产端要有现金流来确保可以应付负债，可以推出FV_A=FV_L②以及负债的maturity=资产端的投资期③，综合①③，推出负债的Duration=资产端的投资期④；

其次，单看资产端，当资产的Duration（MacD）=资产端的投资期⑤时候，可以实现资产投资的reinvestment风险（资产期间现金流在投资产生的风险）和price risk相当（资产的自然到期期限是大于资产Duration的，因此，资产的自然到期期限是大于资产端的投资期，所以一定会有投资到期时提前卖出资产行为发生，因此一定会有price risk），此时，投资的收益可以锁定，我们可以得到一个realized return r，这个r可以保证PV_A（1+r）^T=FV_A⑥，结合②与⑥，我们可以得到PV_A（1+r） ^T= FV_L，所以可以推出PV_A=PV_L。但其实，在单笔现金流负债负债时，我们为了能够足额覆盖到期负债，也应该是PV_A≥PV_L。只不过单笔现金流负债负债的现金流简单，我们又能锁定r，所以我们用PV_A=PV_L，是为了期初少准备些资金PV_A，节省Initial cost。

Mulitple Liability的情况下，因为负债端也有多笔现金流，结构变得复杂，因此，我们不能为了节省成本而让PV_A=PV_L，而是应该保证能够让Asset cover Liability，故用PV_A≥PV_L。

同时，我们放弃了MD_A=MD_L的条件，而是用BPV_A=BPV_L的条件，因为

BPV_A=MV*MD*1bp，由于PV_A≥PV_L，所以，若仍用MD_A=MD_L，则不能保证收益率变动情况下，资产与负债的绝对值变化相等，而我们cover liab的初衷，就是想让资产与负债面对收益率曲线变化时能够同步变化，所以，我们用BPV_A=BPV_L

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努力的时光都是限量版，加油！