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Archie · 2023年04月27日

volatility smile

NO.PZ2022071105000011

问题如下:

A risk analyst is examining a firm’s foreign currency option pricing assumptions. The implied volatility is

relatively low for an at-the-money option and it becomes progressively higher as the option moves either in-

the-money or out-of-the-money. How does the distribution of option prices on this foreign currency implied by

the Black-Scholes-Merton model compare to the lognormal distribution with the same mean and standard

deviation?

选项:

A.

It has a heavier left tail and a less heavy right tail.

B.

It has a heavier left tail and a heavier right tail.

C.

It has a less heavy left tail and a heavier right tail.

D.

It has a less heavy left tail and a less heavy right tail.

解释:

中文解析:

B是正确的。对于一个外币期权,隐含的分布给出了一个相对较高的期权价格。平值期权的隐含波动率相对较低,但是

当它转变为价内或价外期权时,隐含波动率就会升高。因此隐含的分布比对数正态分布具有更厚的尾部。

B is correct. For a foreign currency option, the implied distribution gives a relatively high

price for the option. The implied volatility is relatively low for at-the-money options, but

it becomes higher as the option moves either in-the-money or out-of-the-money. Thus,

the implied distribution has heavier tails than the lognormal distribution.

老师您好,我有点没明白,平日学的那个lognormal 表现为双瘦尾和这道题的区别在哪里。什么叫转换为价外期权,答案没整明白。麻烦老师了

2 个答案
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品职答疑小助手雍 · 2023年04月30日

emmm我想想怎么捋一下哈,你看你能不能明白,我觉得你理解偏差不大来着。

1、BSM的假设:里面包含了波动率恒定,以及分布服从lognormal,这当然是一个理想化的假设。

2、实际情况:波动率在两端会更大,这个两端波动更大,也导致实际的分布比lognormal的两端要更肥。

然后,我们把BSM的假设称为假设情况,把实际观察出来的期权价格通过BSM倒推出波动率和分布的数值称为implied volatility/distribution。

所以上图的情况可以说是波动率的implied的实际情况,不像BSM的假设情况那样是水平的,而是微笑的。

然后看下图,分布情况同理,不像BSM假设那样是lognormal的,而是比lognormal要肥尾的。

品职答疑小助手雍 · 2023年04月28日

同学你好,lognormal的瘦尾是分布数据上的表现。而本题用的相当于是数据分布导致出现volatility smile形状的结论,可以直接对应讲义里的这个图。

Archie · 2023年04月29日

不好意思老师,我没有看明白。甚至更晕了。em我一直以为的是,BSM模型因为有一堆假设,所以画出来的对应你回答的这个图的图形是一条水平线。然后BSM画出来的就是lognormal,而implied volatility画出来的是比lognormal更尖峰肥尾的。所以“this foreign currency implied by the Black-Scholes-Merton model compare to the lognormal distribution” 这句话我都有点懵,我觉得BSM隐含的就是lognormal。sry我没学好,麻烦老师解答

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