Duration of liability 由于有零息债券的假设，所以Mac D=maturity
有两个问题：
1）Duration of asset=investment horizon 也是有这个零息债券的假设吗。
2）这里的两个duration是否默认其实是modified duration，只是因为md=mac d/1+y，因为y小，约等于mac d？
谢谢
tzdsgn · 2023年04月15日
Duration of liability 由于有零息债券的假设，所以Mac D=maturity
有两个问题：
1）Duration of asset=investment horizon 也是有这个零息债券的假设吗。
2）这里的两个duration是否默认其实是modified duration，只是因为md=mac d/1+y，因为y小，约等于mac d？
谢谢
第一个问题，就是前面第一步里的讲的找一个确定realized return里ri risk=price risk的结论对吧，那就没问题了。 第二个问题还是想问一下，是不是需要这么理解，还是就认为是平均还款期的mac d就可以
pzqa015 · 2023年04月15日
嗨，努力学习的PZer你好：
关于用什么duration match这里，结论是single liability用mac duration match，multiple liability用modified duration match。原理如下：
Single liability免疫：
负债端只有一笔现金流，不受收益率曲线变化的影响。那么我们构建的Portfolio也要尽量不受收益率曲线变化的影响，这是immunization这个词的含义，也是构建Portfolio的基本原则。
首先，回顾一下，持有一只债券的收益率是如何计算。
根据P0(1+r)=P1+coupon①这个公式，P0是期初买入债券的价格，P1是现在债券市场价格或者未来可以卖出的价格，r就是持有债券一段时间的投资收益率。如果投资期是一期，没有coupon再投资问题；如果投资期是多期，要考虑coupon的reinvestment问题，比如，投资3期，每期coupon为3，假定期间现金流以ytm再投资，那么根据PV=0，PMT=3，N=3，I/Y=ytm，求解出FV就是上面公式的coupon了，它包含的是coupon和coupon的在投资收益。（这是一级固收的知识点）。
其次，我们分析一下公式①，影响债券投资收益r的因素有两方面：
一是P1，它是债券的卖出价格，收益率曲线一旦变化，债券卖出价格不再确定，这是price risk，用duration衡量，duration越大，price risk越大；
二是coupon，它是持有债券期间的coupon以及coupon再投资收益，一旦收益率曲线变化，coupon确定，但coupon的再投资收益就不确定了（也就是不能假设以ytm再投资了），这是reinvestment risk，用investment horizon衡量，投资期越长，reinvestment risk越大。
收益率发生变动，price risk和reinvestment risk对投资者的影响是相反的，比如考虑收益率曲线上升的情形：
若投资期长，price risk对投资者不利，但reinvestment risk对投资者有利；若投资期短，price risk对投资者有利，但reinvestment risk对投资者不利。所以，一定存在一个条件，这个条件使得price risk与reinvestment risk相互抵消，收益率曲线变动对portfolio value的影响就被控制了，portfolio可以获得确定的return，这样就实现了免疫的初衷。
这个条件就是mac D=investment horizon。由于要与投资期比，只有mac D代表现金流的加权平均到期期限，是一个时间的概念，所以，要用mac D与investment horzion比较。
有下面结论：
Mac D＞investment horizon，则price risk＞reinvestment risk
Mac D=investment horizon，则price risk=reinvestment risk
Mac D＜investment horizon，则price risk＜reinvestment risk
所以，单笔现金流负债免疫，我们要让mac D=investment horizon。
一级固收科目用一个具体例子证明
假设期初买入时ytm=10.40%，
第一行是卖出时收益率曲线下降到9.4%，此时的P1=96.481299,coupon(包含再投资收益）=74.512177，total return是170.993476。
第二行是卖出时收益率曲线不变，仍维持10.40%，此时P1=94.073336，coupon(包含再投资收益）=76.835787，total return是170.993476。
第三行是卖出时收益率曲线上升到11.40%，此时P1=91.748833，coupon(包含再投资收益）=79.235183，total return是170.993476。
由于期初买入价格P0不变，total return又一样，所以无论收益率曲线如何变化，持有期收益率r是确定不变的。
Multiple liability 免疫：
与单笔现金流负债不受收益率曲线变动影响不同，多笔现金流负债受收益率曲线变动影响，所以，我们构建portfolio的目的也不是获得确定收益了，而是要让收益率曲线变动时，资产与负债的价格变动尽量相等，也就是BPVA=BPVL。BPV=-MD*1bp*P，所以用到的是modified duration，而不再是mac duration了。
总之，虽然single liability与multiple liabiliies都叫免疫，但两类免疫的目标是不一样的，前者的目标是追求realized return，后者的目标是追求资产与负债的value变化相同，因此，前者要用mac duration，后者要用modified duration。
----------------------------------------------就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！
pzqa015 · 2023年04月15日
嗨，爱思考的PZer你好：
1）Duration of asset=investment horizon 也是有这个零息债券的假设吗。
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零息债的剩余到期日等于零息债的久期，这不是假设，而是客观事实。
mac duration=∑(PVCFi/P)*t，时各个现金流现值对现金流发生时间的加权平均，由于零息债只有一期现金流，这期现金流的现值就是零息债的价格，所以PVCFi=P，所以，mac duration=t，也就是零息债的duration=investment horizon。
2）这里的两个duration是否默认其实是modified duration，只是因为md=mac d/1+y，因为y小，约等于mac d？
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不是的，这里的duration默认的是mac duration。
----------------------------------------------努力的时光都是限量版，加油！
tzdsgn · 2023年04月15日
谢谢🙏，明白了。然后请问single liability和multiple liability的分法，后面讲课还会讲到吗。（我现在看到r11 overview的fi mandates这里，目前没提到这个分法）