协方差矩阵和方差矩阵问题-练习题-有问必答-品职教育专注CFA ESG FRM CPA 考研等财经培训课程

协方差矩阵和方差矩阵问题-练习题

NO.PZ2020010801000024

问题如下：

Suppose Yi and Xi followed a bivariate normal so that:

$\begin{bmatrix}Y_i\\X_i\end{bmatrix}\overset{iid}\sim N\left(\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0.9\\0.9&3\end{bmatrix}\right)$

What is the $R^2$ in a model that regresses Y on X? What would the $R^2$ be in a model that regressed X on Y?

选项：

解释：

Because this is a regression with a single explanatory variable, the $R^2$ is the squared correlation. The correlation is $0.9/\sqrt 3 = .519$ and so the $R^2 = 0.27$ . The $R^2$ is the same in both regressions because it only depends on the correlation between the variables.

您好，我看了以前的问答，但是还是想问这道题。因为在讲义中讲了这个矩阵，但是没细讲，但是题目中是有的，因此，还请把这道题讲清楚。另外，讲义中说了解的问题，其实不是不考，反而经常出现在题目里。因此，麻烦请详细解答下该题，作为案例记下来。谢谢

同学你好，根据做题和考试的经验，真的不会拿矩阵来出题，而且这只不过是题目条件的表达方式而已，所以课上也没有细讲。只要理解了矩阵的意思获得了题目给的条件，就可以用讲义里的公式做题了。

本题矩阵的意思是：

左边的[0, 0]表示X和Y的均值都是0。

右边矩阵的左上角的1表示Y的方差是1，右下角的3表示X的方差是3。所以Y标准差是1，X的标准差是根号3。左下角和右上角的0.9是X和Y的协方差cov.

所以解题过程：X和Y的相关系数=cov/(1*根号3) = 0.9/根号3。一元线性回归里面的R^2 = 相关系数的平方，也就是0.519^2 = 0.27

这个R^2对于X on Y 和Y on X 都是一样的。

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