matching duration

先说一个Macaulay duration等于Investment horizon的特殊情况。就是持有Zero coupon bond至到期。

Macaulay duration衡量的是债券现金流到账的加权平均时间。因此Macaulay duration一定是小于债券Maturity的。这是因为在债券的早期，也会有现金流，从而使得收到现金流的平均时间提前，从而小于Maturity。Zero-coupon bond由于只有一笔现金流，因此衡量现金流到账时间的Macaulay duration就等于了Maturity。

持有ZCB至到期，即investment horizon等于Macaulay duration，发现利率的变动，不能通过reinvestment risk和market price risk影响持有收益率，因此可以说这种情况下，持有债券对利率的变动免疫。

在一级讲到过Macaulay Duration的一个性质：

For a particular assumption about yield volatility, Macaulay duration indicates the investment horizon for which coupon reinvestment risk and market price risk offset each other.

即，当持有债券的investment horizon等于债券的Macaulay duration时，reinvestment risk和market price risk相互抵消。原版书用了具体的数据例子引出了这个结论。

在债券的投资中，实现的收益是由三部分构成的：第一部分coupon，第二部分coupon的reinvest，第三部分，债券到期前卖出债券时的capital gain/loss。如果债券持有至到期，就不会存在第三个影响。

利率的改变，会影响coupon的再投资收益，也会影响提前卖出债券时的价格。

发现，利率对二者的影响方向是相反的。如利率上升，coupon的再投资收益增加，但是利率上升，导致债券价格下跌，提前卖出债券有capital loss。因此两个由于利率变动引起的风险天然有相互抵消的效果。但持有债券至不同的时期，这两个风险Reinvestment risk和market price risk的影响谁大谁小，谁占主导地位是不一样的。

考虑以下两个极端情况：

投资者购买10年付息债券，只持有2个月就卖出，因此没有收到coupon，也没有coupon的再投资收益，此时Market price risk占主导地位：这是因为利率变动（尤其是上升），债券的现值影响很大，而债券投资还没有coupon和coupon的再投资收益。

如果投资者打算持有至到期，那么reinvestment risk占主导地位，这是因为：债券“出售”价格确定是面值，到期前利率的变动会影响Coupon的再投资收益率。

所以上面两个极端情况可以总结：假设投资者期初买入债券，如果投资者卖出债券的时期处在债券生命周期的前面阶段，那么market price risk影响大于reinvestment risk影响；如果投资者卖出债券的时期处在债券生命周期的后面阶段，market price risk影响小于reinvestment risk影响；

因此我们知道持有债券至其生命周期中间的某个特殊时间点，market price risk的影响恰好等于reinvestment risk的影响，两个风险在这个点完全抵消。这里的这个特殊点就是Macaulay duration。因此如果投资者的投资期investment horizon设定为Macaulay duration，在此时卖出债券，那么投资债券的持有期收益就不会受到利率变动的影响了,因为两个受到利率影响的风险敲好抵消，因此在此之前无论利率怎么变，持有该债券对利率免疫。

当投资债券的investment horizon小于其Macaulay duration时，Market price risk占主导地位，所以投资者面临的是利率上升的风险。

当投资债券的investment horizon大于其macaulay duration，债券reinvestment risk占主导影响，所以投资者面对的风险就是利率下降的风险。

例如，在期初投资者以面值买入一个Modified duration为6的债券，在买入立即就发生了利率上升，上升1%，因此债券价格下跌了6%，如果投资者立即卖出债券，那么他会有6%的损失。如果投资者不卖出，继续持有，这6%的损失是unrealised capital loss，随着投资者继续持有债券，债券价格逐渐向面值考虑，这里的unrealised capital loss逐渐减少，如果现在投资者再卖出债券，那么released capital loss是比期初卖出少的。从第一笔收到现金流开始，因为利率上升，投资者的reinvestment增加，随着持有期增加，reinvestment的累积收益越来越多。于是当持有债券至Macaulay duration时，unrealised capital loss和reinvestment的累积完全抵消，那么说明在此之前利率的任何变动都不会影响此刻卖出债券时的持有收益。因为如果投资者持有债券的时长就是债券的Macaulay duration，在Macaulay duration时卖出债券。那么持有债券的收益时确定的。

所以如果我们持有债券的投资期Investment horizon恰好等于债券的Macaulay duration时，利率就不会对债券的持有期收益产生影响，债券投资就会对利率免疫，我们就能以一个确定的投资得到一个确定的期末金额，这个金额就用来match liability。