嗨,爱思考的PZer你好:
请问这个公式是怎么推导的
这个公式没有数学推导方法哈,公式是根据债券的收益来源写出来的。
Excess return公式,之所以把他称为Excess return,就是因为他只考虑投资信用债Spread带来的收益,不考虑基准利率Interest rate改变的收益,就是相对于基准利率Interest rate而言的超额收益。所以在对信用债券的收益进行拆分时,只考虑与Spread相关的收益。
那么投资信用债的Spread收益来源,一共有3块,这三块就分别代表了Excess return公式里的三项:
Excess return = Spread0 × t - Effective spread duration × △Spread - LGD × PD × t
首先就是,正常投资公司债,假设债券Spread没有改变,安安稳稳持有公司债的话,我们可以获得一个债券的Spread0,Spread0就是债券期初时刻的Spread。但因为Spread是一个年化的数据,如果我们投资的时间小于一年的话,需要考虑再乘以时间期限。
假设投资期限是0.5年,那么安安稳稳持有债券0.5年,获得的收益就是Spread0×0.5;
更一般化地,投资t年(t是小于1年的数),获得的第一块收益就是:Spread0×t
这是收益的第一块来源。
第二块来源是,实际在持有债券的时候,市场上的利率(包括债券的Spread)会发生改变,一旦当债券的Spread发生改变时,债券的价格就会改变,这就会给投资者带来Capital gain or capital loss,所以这就构成了第二块收益来源:债券Spread改变带来的capital gain or loss。
假设债券Spread改变为:△Spread,当债券的Spread改变时,对债券价格的影响就是:- effective Spread duration × △Spread
这是收益的第二块来源。
综合考虑第一块和第二块的收益来源,汇总就是:Spread0×t - Spread duration × △Spread
接下来就是第三块收益来源,因为是投资信用债,信用债在投资的时候,会考虑债券的违约风险,投资者会根据他们对债券违约的判断来对债券进行定价,所以预期的债券的违约风险也会影响到投资信用债的收益。
这就是收益的第三块来源(第三块影响),债券的违约风险等于:违约概率PD × 违约损失LGD (PD × LGD)。
注意违约风险一定会降低投资信用债券的excess return,所以在计算Excess return时,需要减去PD × LGD,但因为这道题没有给PD与LGD的数据,所以不考虑第3块收益影响了。
综合一下,在题目没有给PD和LGD的情况下(如本题),Excess return是::Spread0×t - Spread duration × △Spread
另外需要注意,有更多的题目会给PD和LGD数据(如后面的几道题),在题目给LGD和PD的情况下,即便题干假设是assuming no default losses,此时在计算Excess return时,也要减去PD×LGD,原因是即便债券没有违约,投资者在交易债券时,也会考虑违约风险,所以PD×LGD会影响到投资收益,于是计算Excess return是一定要考虑PD×LGD。又因为PD一般也是年化数据,投资期如果短于1年的话,需要考虑乘以时间t(t是小于1的数)
那么在这种情况下,更一般的公式就是:Excess return = Spread0×t - Spread duration × △Spread - LGD×PD×t
这就是Excess return,这个一般化公式的来源。
----------------------------------------------就算太阳没有迎着我们而来,我们正在朝着它而去,加油!