问一道题：NO.PZ2016031001000120 [ CFA I ]

同学你好，这道题考察的是对effective duration的理解。

原版书对effective duration有以下描述：

Effective duration is the most appropriate interest rate risk measure for bonds with embedded options.即，衡量含权债券利率风险最优的就是effective duration。

But when interest rates are low, the effective duration of the callable bond is lower than that of the otherwise comparable non-callable bond.

An embedded put option reduces the effective duration of the bond, especially when rates are rising.

从以上两点可以知道，含权债券，不管是putable，还是callable，只要是含权债券，其embedded option都会使得含权债券的effective duration变小。

关于effective duration是有公式计算的：

这个公式和我们求approximate modified duration很像，但是要注意，他们有一点区别，那就是effective duration分母上用到的是benchmark rate的变动。而approximate modified duration分母用到的是债券YTM的变动。如讲义所示：

实际上这道题根本就用不到求effective duration的公式。可以通过分析得出答案。

这里以callable bond为准。我们来解释，为什么callable bond的embedded option，会使得债券的effective duration减小。

在求effective duration的时候，我们分子上用到的债券价格，实际上分别是，利率在现有基础上减少△curve得到的债券价格，和利率在现有基础上增加△curve得到的债券价格。对于普通债券，在计算effective duration分子上的债券价格时，我们根本就不需要关心现有利率处在什么位置，因为普通债券的现金流并不会因为利率水平而发生变化。相比，对于callable现有利率处在什么样的水平是很重要的。

假设现有利率水平很高，那么含权债券价格很低，一个价格很低的callable bond，他离赎回价还很远，债券发行人是不会赎回债券的，callable bond表现的很像普通债券，因此在现有利率的基础上减少微小的量△curve，callable bond的价格还是低于行权价，所以计算出来的effective duration和普通债券就很接近。

但是，当现有的利率水平比较低的时候，callable bond的价格是比较接近行权价，在现有利率的基础上，微小的△curve变动，使得callable bond的价格很有可能超过行权价，此时callable bond就会被发行人以行权价赎回，所以此时PV-就是赎回价，他是小于普通债券算出来的PV-的。因此，embedded option使得PV-减去PV+小于普通债券的PV-减去PV+。所以这个embedded call option使得callable bond的effective duration减小。

putable的分析同理。