NO.PZ2021120102000015

嗨，从没放弃的小努力你好：

为什么MRR 的curve形状是upward sloping时，MRR < Zn ?

我们在求DM的时候，使用的是Current MRR，也就是未来所有的现金流，都使用的是同一个MRR，即现在的MRR。

而在求Z-DM的时候，是考虑到了未来利率的改变，只有第一期现金流使用的是Current MRR，而未来所有期限的现金流，都使用的是未来的利率Zn.

由于预测MRR是向上倾斜的，即，未来的利率越后期则利率越大，所以知道：

Current MRR < 第二期MMR < 第三期MRR < 第四期MRR < .....

如果未来一系列的MRR是向上倾斜的，那么可知Spot rate（Zn）一定也是向上倾斜的哈。

因为未来的MRR代表的是未来一系列的短期利率，而Spot rate（Zn）是未来一系列短期利率的平均数，当未来的短期利率越来越大时，那么平均数Zn也越来越大，即Zn也一定是向上倾斜的。

比如，MRR1 = 3%，MRR2=4%，假设一期是1年，则当前的1年期利率是3%（Z1=3%），MRR2=4%意味着未来的利率：1年之后开始的1年期利率是4%

那么从现在0时刻开始，2年期的利率是多少呢？实际上是当前的利率3%与MRR2=4%的几何平均数：

即（1+Z2）^2 = (1+3%)(1+4%)，得到Z2=3.5%，已知Z1 = MRR1 =3%，那么知道Z2>Z1

这样就证明了，当MRR2>MRR1时，则Z2>Z1

以此类推，若MRR3>MRR2>MRR1，那么其中Z1=MRR1，Z2是MRR2与MRR1的平均数，则，Z2>Z1；

同时，Z3是MRR3与MRR2与MRR1的平均数，则Z3>Z2>Z1，以此类推

从这里可以看出，如果MRR是向上倾斜的话，那么spot rates（Zn）也是向上倾斜的。

怎么理解两者的大小关系？Zn也是upward sloping 的吗？所以Zn的增长比MRR快？

是的，MRR向上倾斜的话，则Zn（Spot rates）也是向上倾斜的，而Zn的增长速度要慢于MRR的增长速度，可以理解MRR是一个边际改变量，而Zn是一个平均数，平均数的增速要慢于边际量MRR的。

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！